Obtenha o desenvolvimento em série de Fourier das funções:
(c) a função periódica de período 3 tal que para . SUGESTÃO: Para simplificar os cálculos, comece encontrando uma constante conveniente para a qual seja uma função ímpar.
Passo 1
O enunciado pede o desenvolvimento em série de Fourier da função periódica de período dada por
e repetida com período .
Para isso vamos usar conhecimento de séries de Fourier em funções periódicas:
escreveremos
mas como há sugestão de escolher uma constante para que seja ímpar, isso anulará todos os coeficientes (os de cosseno), restando apenas termos em senos.
Passo 2
Definimos
de modo que seja ímpar, isto é . Como em e extende-se periodicamente, basta checar para . Tomemos . Então, para temos
e para , pela periodicidade , logo
Assim é ímpar.
Passo 3
Como é ímpar, em sua série de Fourier só aparecem senos:
Logo
Passo 4
O coeficiente geral para período é
pois o integrando é par sobre .
Passo 5
Vamos calcular
Por partes, com , , obtém-se
Em x=3/2 o termo (x-tfrac32) zera, e em x=0 sobra tfrac32/lambda. A integral de cosseno sobre um múltiplo inteiro de pi anula-se. Logo
I=-tfrac32lambda =-3/22pi n/3 =-94pi n
Portanto
bn=43,I =43l(-94pi nr) =-3pi n
Passo 6
Substituindo em f(x)=tfrac32+sum bnsin(tfrac2pi n3x), obtemos a série final: