Obtenha o desenvolvimento em série de Fourier das funções:
(c) f(x) a função periódica de período 3 tal que f(x)=x para 0<x<3. SUGESTÃO: Para simplificar os cálculos, comece encontrando uma constante C conveniente para a qual f(x)-C seja uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de Fourier da função periódica de período T=3 dada por
f(x)=xpara 0<x<3
e repetida com período 3.
Para isso vamos usar conhecimento de séries de Fourier em funções periódicas:
  • escreveremos f(x)=a0+sumn=1^inftyl(ancosl(tfrac2pi n3xr)+bnsinl(tfrac2pi n3xr)r),
  • mas como há sugestão de escolher uma constante C para que f(x)-C seja ímpar, isso anulará todos os coeficientes an (os de cosseno), restando apenas termos em senos.

Passo 2

Definimos
g(x)=f(x)-C
de modo que g seja ímpar, isto é g(-x)=-g(x). Como f(x)=x em (0,3) e extende-se periodicamente, basta checar para xin(0,tfrac32). Tomemos C=tfrac32. Então, para 0<x<tfrac32 temos
g(x)=x-tfrac32,
e para -tfrac32<x<0, pela periodicidade f(-x)=f(3-x)=3-x, logo
g(-x)=(3-x)-tfrac32=tfrac32-x=-(x-tfrac32)=-g(x)
Assim g é ímpar.

Passo 3

Como g é ímpar, em sua série de Fourier só aparecem senos:
g(x)=sumn=1^infty bnsinl(tfrac2pi n3xr)
Logo
f(x)=C+g(x) =tfrac32+sumn=1^infty bnsinl(tfrac2pi n3xr)

Passo 4

O coeficiente bn geral para período T=3 é
bn=2Tintegral-T/2^T/2g(x),sin!l(tfrac2pi nTxr),dx =43integral0^3/2(x-tfrac32),sin!l(tfrac2pi n3xr),dx,
pois o integrando é par sobre l[-tfrac32,tfrac32r].

Passo 5

Vamos calcular
I=integral0^3/2(x-tfrac32),sin(lambda x),dx, lambda=tfrac2pi n3
Por partes, com u=x-tfrac32, dv=sin(lambda x),dx, obtém-se
I =-x-tfrac32lambdacos(lambda x)|0^3/2 +1lambdaintegral0^3/2cos(lambda x),dx
Em x=3/2 o termo (x-tfrac32) zera, e em x=0 sobra tfrac32/lambda. A integral de cosseno sobre um múltiplo inteiro de pi anula-se. Logo
I=-tfrac32lambda =-3/22pi n/3 =-94pi n
Portanto
bn=43,I =43l(-94pi nr) =-3pi n

Passo 6

Substituindo em f(x)=tfrac32+sum bnsin(tfrac2pi n3x), obtemos a série final:
boxed f(x) =32 -3pisumn=1^infty1n, sin!l(tfrac2pi n3xr)

Resposta

f(x)=32 -3pisumn=1^infty1n, sin!l(2pi n3xr)

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