Obtenha os desenvolvimentos indicados abaixo.
3 x2 x-1 em potências de (x-1).
Sugestão: 3 x2 x-1=[3(x-1)+3] 11+2(x-1)

Passo 1

A questão pede para desenvolver a função 3x2x-1 em potências de (x-1). Isso é um polinômio de Taylor centrado em x=1, e vamos usar séries geométricas. Primeiro, definimos t=x-1 e reescrevemos a função em termos de t.

Passo 2

Definindo t=x-1, temos x=t+1. Então o numerador fica 3x=3(t+1)=3t+3 e o denominador fica 2x-1=2(t+1)-1=2t+1. Logo,
3x2x-1=3t+31+2t

Passo 3

Agora vamos decompor 3t+31+2t. Note que
3t+31+2t=3cdott+11+2t

Passo 4

Fazendo divisão de polinômios ou ajuste por valores, buscamos constantes A e B tais que
t+11+2t=A+B1+2t

Passo 5

Igualando t+1=A(1+2t)+B obtemos 2A=1Rightarrow A=tfrac12 e A+B=1Rightarrow B=tfrac12. Então
t+11+2t=tfrac12+1/21+2t, e assim
3t+31+2t=3l(tfrac12+1/21+2tr)=tfrac32+3/21+2t

Passo 6

Agora usamos a série geométrica para |2t|<1:
11+2t=sumn=0^infty(-1)^n2^n t^n

Passo 7

Multiplicando por tfrac32 e somando o tfrac32 constante, ficamos com
3x2x-1=tfrac32+tfrac32sumn=0^infty(-1)^n2^n t^n

Passo 8

Reescrevendo em potências de (x-1)=t e combinando o termo n=0 com o constante, obtemos
3x2x-1=3+sumn=1^infty(-1)^n3cdot2^n-1(x-1)^n,
válido para |x-1|.

Resposta

3x2x-1=3+sumn=1^infty(-1)^n3cdot2^n-1(x-1)^n, para |x-1|.

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