Obtenha os desenvolvimentos indicados abaixo.
em potências de
.
Sugestão:
Sugestão:
Passo 1
A questão pede para desenvolver a função
em potências de
. Isso é um polinômio de Taylor centrado em
, e vamos usar séries geométricas. Primeiro, definimos
e reescrevemos a função em termos de
.
Passo 2
Definindo
, temos
. Então o numerador fica
e o denominador fica
. Logo,
Passo 3
Agora vamos decompor
. Note que
Passo 4
Fazendo divisão de polinômios ou ajuste por valores, buscamos constantes
e
tais que
Passo 5
Igualando
obtemos
e
. Então
Passo 6
Agora usamos a série geométrica para
:
Passo 7
Multiplicando por
e somando o
constante, ficamos com
Passo 8
Reescrevendo em potências de
e combinando o termo
com o constante, obtemos
válido para