Obtenha as dimensões, x, y, e z de uma caixa de madeira retangular, sem tampa, com um Volume de 32 cm^3 e cuja modelagem exija uma quantidade mínima de material na superficie da caixa.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos encontrar as dimensões , e de uma caixa retangular sem tampa que tenha um volume de e que use a menor quantidade possível de material na sua superfície. Para isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, ou seja, vamos minimizar a área superficial da caixa dado o volume fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área superficial da caixa. Como a caixa é sem tampa, a área total S = xy + 2xz + 2yz é a soma da área da base mais a área das quatro laterais. Isso fica assim:
V = xyz = 32 , cm^3
Além disso, sabemos que o volume da caixa é:
Nosso objetivo é minimizar dado que .

Passo 3

Para facilitar, vamos assumir que a base da caixa é quadrada, ou seja, z = 32x^2 . Isso simplifica os cálculos e geralmente leva à solução ótima. Então, nossa equação do volume fica:

Passo 4

Agora, substituímos S = x^2 + 2xz + 2xz = x^2 + 4xz na fórmula da área superficial:
S = x^2 + 4x ( 32x^2 ) = x^2 + 128x
Substituindo da equação anterior:

Passo 5

Para encontrar o mínimo dessa função, precisamos derivar dSdx = 2x - 128x^2 em relação a 2x - 128x^2 = 0 e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação:
2x = 128x^2 2x^3 = 128 x^3 = 64 x = raiz[3]64 x = 4 , cm

Passo 7

Com z = 324 times 4 = 3216 = 2 , cm e , temos . Agora, encontramos usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material são:
x = 4 , cm, y = 4 , cm, z = 2 , cm

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