Obtenha as dimensões,
, e
de uma caixa de madeira retangular, sem tampa, com um Volume de
e cuja modelagem exija uma quantidade mínima de material na superficie da caixa.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos encontrar as dimensões
,
e
de uma caixa retangular sem tampa que tenha um volume de
e que use a menor quantidade possível de material na sua superfície. Para isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, ou seja, vamos minimizar a área superficial da caixa dado o volume fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área superficial da caixa. Como a caixa é sem tampa, a área total
é a soma da área da base mais a área das quatro laterais. Isso fica assim:
Além disso, sabemos que o volume
da caixa é:
Nosso objetivo é minimizar
dado que
.
Passo 3
Para facilitar, vamos assumir que a base da caixa é quadrada, ou seja,
. Isso simplifica os cálculos e geralmente leva à solução ótima. Então, nossa equação do volume fica:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área superficial:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 5
Para encontrar o mínimo dessa função, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Passo 7
Com
e
, temos
. Agora, encontramos
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material são: