Exercício 3 Calcule a integral indefinida.
integral t sen(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral tsin(2t),dt. Isso envolve o conteúdo de integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Precisamos escolher u e dv. Como t é polinomial (fácil de derivar) e sin(2t) é fácil de integrar, fixamos u = t e dv = sin(2t),dt. Derivando u, temos du = dt. Integrando dv, obtemos:
v = integral sin(2t),dt = -tfrac12cos(2t),
pois integral sin(kx),dx = -tfrac1kcos(kx).

Passo 3

Aplicamos a fórmula de partes:
integral tsin(2t),dt = u,v - integral v,du = tcdot(-tfrac12cos(2t)) - integral (-tfrac12cos(2t)),dt
Isso simplifica para
-tfract2cos(2t) + tfrac12integral cos(2t),dt Agora calculamos a integral restante:
integral cos(2t),dt = tfrac12sin(2t),
pois integral cos(kx),dx = tfrac1ksin(kx).

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão anterior, obtemos
-tfract2cos(2t) + tfrac12cdottfrac12sin(2t) = -tfract2cos(2t) + tfrac14sin(2t)

Resposta

-tfract2cos(2t) + tfrac14sin(2t) + C

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