Obtenha
e
de dois modos: usando a regra da cadeia e, posteriormente, determinando a função composta
e derivando-a em parcialmente em
e em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve derivadas parciais usando duas abordagens diferentes. Aqui, a matéria é derivadas parciais e a regra da cadeia. Precisamos encontrar as derivadas de
em relação a
e
de duas maneiras: primeiro aplicando a regra da cadeia e depois substituindo as funções para obter
diretamente e derivando.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a regra da cadeia para encontrar
e
. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas.
Passo 3
Dado que
,
e
, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando as derivadas parciais de
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, encontramos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
e
:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, vamos determinar a função composta
substituindo
e
:
Passo 9
Com a função
, agora derivamos parcialmente em relação a
:
E derivando parcialmente em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais são: