Obtenha partial zpartial u e partial zpartial v de dois modos: usando a regra da cadeia e, posteriormente, determinando a função composta z(u, v) e derivando-a em parcialmente em u e em v :
z=x^2 y, x=uv, y=u e^v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve derivadas parciais usando duas abordagens diferentes. Aqui, a matéria é derivadas parciais e a regra da cadeia. Precisamos encontrar as derivadas de em relação a e de duas maneiras: primeiro aplicando a regra da cadeia e depois substituindo as funções para obter diretamente e derivando.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a regra da cadeia para encontrar e . A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas.

Passo 3

Dado que , e , precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando as derivadas parciais de e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x y e partial zpartial y = x^2 em relação a e :

Passo 5

Agora, encontramos as derivadas parciais de partial xpartial u = 1v, partial xpartial v = -uv^2 e partial ypartial u = e^v, partial ypartial v = u e^v em relação a e :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u = 2x y cdot 1v + x^2 cdot e^v :
partial zpartial u = 2 (uv) cdot (u e^v) cdot 1v + (uv)^2 cdot e^v
Substituindo = 2u^2 e^vv^2 + u^2 e^vv^2 = 3u^2 e^vv^2 e :

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v = 2x y cdot (-uv^2) + x^2 cdot u e^v :
partial zpartial v = 2 (uv) cdot (u e^v) cdot (-uv^2) + (uv)^2 cdot u e^v
Substituindo = -2u^3 e^vv^3 + u^3 e^vv^2 = -2u^3 e^v + u^3 v e^vv^3 e = u^3 e^v (v - 2)v^3 :

Passo 8

Agora, vamos determinar a função composta z = x^2 y = (uv)^2 cdot (u e^v) = u^3 e^vv^2 substituindo e :

Passo 9

Com a função partial zpartial u = 3u^2 e^vv^2 , agora derivamos parcialmente em relação a partial zpartial v = u^3 e^v cdot v^2 cdot (1) - u^3 e^v cdot 2vv^4 = u^3 e^v (v - 2)v^3 :
E derivando parcialmente em relação a :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 3u^2 e^vv^2 e partial zpartial v = u^3 e^v (v - 2)v^3

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