Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja máximo.
Passo 1
O problema pede dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja o maior possível. Esse é um exercício de otimização de função real com restrição, que podemos resolver reduzindo a duas variáveis e usando cálculo diferencial.
Passo 2
Definimos os números como x e y. A restrição é
e a função que queremos maximizar é
Passo 3
Para eliminar uma variável, resolvemos a restrição para y:
Substituindo em P, obtemos uma função de uma só variável:
Passo 4
Agora usamos derivadas. A primeira derivada de P em relação a x é
.
Para achar o extremo, igualamos a zero:
Para achar o extremo, igualamos a zero:
A segunda derivada é
, que é negativa, indicando que x = 50 dá um máximo.
Passo 5
Finalmente, como y = 100 - x, temos
Portanto os dois números são 50 e 50.
Resposta
50 e 50