Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja máximo.

Passo 1

O problema pede dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja o maior possível. Esse é um exercício de otimização de função real com restrição, que podemos resolver reduzindo a duas variáveis e usando cálculo diferencial.

Passo 2

Definimos os números como x e y. A restrição é
x + y = 100
e a função que queremos maximizar é
P = x y .

Passo 3

Para eliminar uma variável, resolvemos a restrição para y:
y = 100 - x
Substituindo em P, obtemos uma função de uma só variável:
P(x) = x(100 - x) = 100x - x^2 .

Passo 4

Agora usamos derivadas. A primeira derivada de P em relação a x é
100 - 2x = 0 x = 50 .
Para achar o extremo, igualamos a zero:
.
A segunda derivada é
, que é negativa, indicando que x = 50 dá um máximo.

Passo 5

Finalmente, como y = 100 - x, temos
y = 100 - 50 = 50 .
Portanto os dois números são 50 e 50.

Resposta

50 e 50

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