O preço de venda por unidade de um produto é p=50. Se o custo é C(x)=1.000+3 x+0,5 x^2, determine o ponto de máximo lucro.

Passo 1

Temos preço de venda por unidade p=50 e custo C(x)=1000+3x+0,5x^2. O conteúdo é otimização de lucro via derivadas: vamos precisar montar a função receita, a função lucro, derivar e usar o teste da segunda derivada.

Passo 2

A receita total é R(x)=p,x, logo
R(x)=50x

Passo 3

O lucro é pi(x)=R(x)-C(x). Substituindo,
pi(x)=50x - l(1000+3x+0,5x^2r)=47x - 0,5x^2 -1000

Passo 4

Calculamos a derivada de pi(x) para encontrar o ponto crítico:
pi'(x)=ddxl(47x - 0,5x^2 -1000r)=47 - x

Passo 5

Impondo pi'(x)=0 para maximizar o lucro, temos
47 - x=0Longrightarrow x=47

Passo 6

Agora verificamos o sinal da segunda derivada para confirmar que é máximo:
pi''(x)=ddx(47 - x)=-1<0

Passo 7

Como pi''(x)<0, o ponto x=47 é de máximo lucro.

Resposta

O ponto de máximo lucro ocorre em x = 47 unidades.

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