Seja
o campo vetorial em
dado por
Seja
uma curva de classe
ligando o ponto
a um ponto
na esfera centrada na origem de raio 3 . Suponha que
não passe pela origem (
).
Calcule
Calcule
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
que liga o ponto
a um ponto
na esfera de raio 3, sem passar pela origem. Vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais conservativos e integrais de linha para resolver este problema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo vetorial dado:
Esse campo pode ser reescrito como:
onde
e
é a distância do ponto
à origem.
Passo 3
Vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Se o campo for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 4
Calculando o gradiente de uma função potencial
, onde
:
Queremos que
, ou seja:
Isso implica que:
Passo 5
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Podemos escolher a constante
, então a função potencial é:
Passo 6
Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral de linha usando a diferença dos valores de
nos pontos final e inicial:
Onde
é a distância de
à origem e
é a distância de
à origem.
Passo 7
Sabemos que o ponto
está a uma distância
da origem, e o ponto
está na esfera de raio 3, então
. Substituindo na expressão:
Resposta
A integral de linha é igual a
.