Seja F o campo vetorial em R^3 backslash(0,0,0) dado por
F(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2(x, y, z)
Seja C uma curva de classe C^1 ligando o ponto P=(0,0,1) a um ponto Q na esfera centrada na origem de raio 3 . Suponha que C não passe pela origem ( 0,0,0 ).
Calcule
integralC F cdot d r

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C que liga o ponto P = (0,0,1) a um ponto Q na esfera de raio 3, sem passar pela origem. Vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais conservativos e integrais de linha para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo vetorial dado:
F(x, y, z) = 1x^2 + y^2 + z^2 (x, y, z)
Esse campo pode ser reescrito como:
F = r|r|^2
onde r = (x, y, z) e |r| é a distância do ponto (x, y, z) à origem.

Passo 3

Vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial f tal que F = nabla f. Se o campo for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 4

Calculando o gradiente de uma função potencial f(r), onde r = raizx^2 + y^2 + z^2:
nabla f = dfdr cdot nabla r = dfdr cdot rr
Queremos que nabla f = F, ou seja:
dfdr cdot rr = rr^2
Isso implica que:
dfdr = 1r

Passo 5

Integrando ambos os lados para encontrar f(r):
f(r) = integral 1r dr = ln r + C
Podemos escolher a constante C = 0, então a função potencial é:
f(r) = ln r

Passo 6

Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral de linha usando a diferença dos valores de f nos pontos final e inicial:
integralC F cdot dr = f(Q) - f(P) = ln rQ - ln rP
Onde rP é a distância de P à origem e rQ é a distância de Q à origem.

Passo 7

Sabemos que o ponto P = (0,0,1) está a uma distância rP = 1 da origem, e o ponto Q está na esfera de raio 3, então rQ = 3. Substituindo na expressão:
integralC F cdot dr = ln 3 - ln 1 = ln 3

Resposta

A integral de linha é igual a ln 3.

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