Obtenha dois números reais positivos
e
tais que
e cujo produto tem o maior valor possível.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos dois números reais positivos
e
tais que
e cujo produto
seja o maior possível.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Dado:
. - Condição adicional:
e . - Pedido: determinar os valores de
e que maximizam o produto (e, se quiser, o valor máximo de ).
Passo 2
Escolha do método e por que: vou usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (desigualdade AM-GM). Motivo: é um método muito direto para maximizar produtos quando há uma soma ou combinação linear fixa e exige apenas noções básicas de desigualdades, sem precisar de cálculo diferencial. Além disso a AM-GM dá a condição de igualdade (quando os termos são iguais), o que já indica exatamente onde o máximo ocorre.
Explicação rápida da AM-GM que vou usar: para quaisquer números positivos
e
vale
com igualdade se, e somente se,
. A reescrita útil é
Passo 3
Para aplicar a AM-GM de forma conveniente, faço uma mudança de variáveis que transforma a combinação linear dada numa soma simples. Defino
Como
e
, temos
e
. A condição
fica simplesmente
O produto que queremos maximizar é
Passo 4
Aplicando a desigualdade AM-GM aos positivos
e
:
Como
, obtemos
Portanto, para
temos
Ou seja, o produto
não pode passar de
.
Passo 5
Condição de igualdade na AM-GM: a desigualdade vira igualdade exatamente quando
. Assim o máximo
ocorre quando
Voltando às variáveis originais:
Confirmação rápida:
e
, compatível com tudo.
Passo 6
Resumo interpretativo (para a prova): ao ter uma combinação linear fixa
e querer maximizar
com
, é prático transformar os termos para obter uma soma fixa entre números positivos (
) e então aplicar AM-GM para limitar
. A igualdade em AM-GM dá imediatamente a proporção que fornece
e
.