Obtenha dois números reais positivos x e y tais que 2 x+5 y=100 e cujo produto tem o maior valor possível.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos dois números reais positivos x e y tais que 2x+5y=100 e cujo produto xy seja o maior possível.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Dado: 2x+5y=100.
  • Condição adicional: x>0 e y>0.
  • Pedido: determinar os valores de x e y que maximizam o produto xy (e, se quiser, o valor máximo de xy).

Passo 2

Escolha do método e por que: vou usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (desigualdade AM-GM). Motivo: é um método muito direto para maximizar produtos quando há uma soma ou combinação linear fixa e exige apenas noções básicas de desigualdades, sem precisar de cálculo diferencial. Além disso a AM-GM dá a condição de igualdade (quando os termos são iguais), o que já indica exatamente onde o máximo ocorre.
Explicação rápida da AM-GM que vou usar: para quaisquer números positivos a e b vale
\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab},
com igualdade se, e somente se, a=b. A reescrita útil é
ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2.

Passo 3

Para aplicar a AM-GM de forma conveniente, faço uma mudança de variáveis que transforma a combinação linear dada numa soma simples. Defino
a=2x,\qquad b=5y.
Como x>0 e y>0, temos a>0 e b>0. A condição 2x+5y=100 fica simplesmente
a+b=100.
O produto que queremos maximizar é
xy=\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{5}=\frac{ab}{10}.

Passo 4

Aplicando a desigualdade AM-GM aos positivos a e b:
ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2.
Como a+b=100, obtemos
ab \le \left(\frac{100}{2}\right)^2 = 50^2 = 2500.
Portanto, para xy temos
xy=\frac{ab}{10}\le \frac{2500}{10}=250.
Ou seja, o produto xy não pode passar de 250.

Passo 5

Condição de igualdade na AM-GM: a desigualdade vira igualdade exatamente quando a=b. Assim o máximo xy=250 ocorre quando
a=b=50.
Voltando às variáveis originais:
2x=a=50 \implies x=25,
5y=b=50 \implies y=10.
Confirmação rápida: 2\cdot25+5\cdot10=50+50=100 e 25\cdot10=250, compatível com tudo.

Passo 6

Resumo interpretativo (para a prova): ao ter uma combinação linear fixa 2x+5y=100 e querer maximizar xy com x,y>0, é prático transformar os termos para obter uma soma fixa entre números positivos ( a+b=100) e então aplicar AM-GM para limitar ab. A igualdade em AM-GM dá imediatamente a proporção que fornece x e y.

Resposta

x=25,\\ y=10
\displaystyle \max(xy)=250

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