Seja
Determine onde
é crescente e onde
é decrescente.
Obtenha e classifique os pontos críticos de
de acordo com o teste da primeira derivada.
Obtenha e classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar onde
é crescente e onde é decrescente. - Obter e classificar os pontos críticos de
usando o teste da primeira derivada.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão contém a potência
(expoente racional com denominador ). - Não há outras restrições explícitas além da própria fórmula da função.
Passo 2
Determinar o domínio de
. Para potências com expoente racional escrito em forma de fração
com
par (aqui
), a expressão
só é real para
(pois envolve raízes de índice par). Portanto o domínio natural da função é
Vou trabalhar apenas em
.
Passo 3
Preparar as ferramentas: regras de derivação que vou usar (explicadas de modo simples).
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então
- Regra da potência (para expoente racional ou real): para
com real e ,
Aqui é importante notar que a fórmula é válida para
; no ponto
precisa checar separadamente a derivabilidade.
Passo 4
Aplicar a regra do produto a
.
Defino e
.
Defino
- Primeiro calcule
. Pela regra da potência,
- Depois calcule
. Como ,
Agora uso a regra do produto:
Passo 5
Simplificar a expressão de
. Multiplico e agrupo termos:
Calculo
e observo que
. Assim
Somando os termos com
:
Logo
Passo 6
Fatorar
para facilitar o estudo do sinal. Observe que
é fator comum (para
), e também
é comum. Assim
Esta forma é muito útil porque separa fatores sempre positivos (ou com sinal conhecido) dos que determinam a mudança de sinal.
Passo 7
Identificar pontos críticos. Por definição, pontos críticos no domínio são pontos onde
ou
não existe.
- Zeros de
: resolver . Como para , o fator que pode zerar é . Logo
- Pontos onde
não existe: a expressão fatorada mostra , que não é finito em . Como pertence ao domínio, é também um ponto crítico (derivada não existe aí).
Portanto os pontos críticos no domínio sãoe .
Passo 8
Explicar o teste da primeira derivada (rápida lição): o teste diz que, em um ponto crítico interior
,
- se
muda de positivo para negativo ao passar por , então tem máximo local em ; - se
muda de negativo para positivo, então tem mínimo local em ; - se não há mudança de sinal, então não há extremo local.
Para um ponto que é extremo na fronteira do domínio (aquié fronteira esquerda), se à direita tem sinal positivo, isso indica mínimo local na borda; se tiver sinal negativo à direita, indica máximo local na borda.
Passo 9
Estudar o sinal de
para
. A fatoração
mostra que
e
para todo
. Portanto o sinal de
para
é igual ao sinal de
.
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Passo 10
Concluir monotonicidade a partir do sinal de
.
- Para
em temos , então é crescente nessa faixa. - Para
em temos , então é decrescente nessa faixa.
Quanto ao ponto(extremo do domínio): não existe intervalo à esquerda, mas acabamos de ver que imediatamente à direita de (pequenos ) temos , ou seja, aumenta ao sair de . Por isso é um mínimo local (na borda do domínio).
Passo 11
Classificação dos pontos críticos pelo teste da primeira derivada.
- No ponto interior
: passa de positivo (para ) para negativo (para ). Pelo teste da primeira derivada isso indica que é um ponto de máximo local. - No ponto de fronteira
: como imediatamente à direita, isso indica que é um mínimo local (mínimo relativo na borda do domínio).
Resposta
Pontos críticos: