Seja
f(x)=x^{3 / 8}(5-x) .
Determine onde f é crescente e onde f é decrescente.
Obtenha e classifique os pontos críticos de f de acordo com o teste da primeira derivada.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3/8}(5-x)
e pede duas coisas:
  • Determinar onde f é crescente e onde f é decrescente.
  • Obter e classificar os pontos críticos de f usando o teste da primeira derivada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão contém a potência x^{3/8} (expoente racional com denominador 8).
  • Não há outras restrições explícitas além da própria fórmula da função.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Para potências com expoente racional escrito em forma de fração \dfrac{p}{q} com q par (aqui q=8), a expressão x^{p/q} só é real para x\ge 0 (pois envolve raízes de índice par). Portanto o domínio natural da função é
[0,\infty).
Vou trabalhar apenas em x\ge 0.

Passo 3

Preparar as ferramentas: regras de derivação que vou usar (explicadas de modo simples).
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
  • Regra da potência (para expoente racional ou real): para u(x)=x^{r} com r real e x>0,
\frac{d}{dx}x^{r}=r x^{r-1}.
Aqui é importante notar que a fórmula é válida para x>0; no ponto x=0 precisa checar separadamente a derivabilidade.

Passo 4

Aplicar a regra do produto a f(x)=x^{3/8}(5-x).
Defino u(x)=x^{3/8} e v(x)=5-x.
  • Primeiro calcule u'(x). Pela regra da potência,
u'(x)=\frac{3}{8}x^{3/8-1}=\frac{3}{8}x^{-5/8}.
  • Depois calcule v'(x). Como v(x)=5-x,
v'(x)=-1.
Agora uso a regra do produto:
f'(x)=u'v+uv'=\frac{3}{8}x^{-5/8}(5-x)+x^{3/8}(-1).

Passo 5

Simplificar a expressão de f'(x). Multiplico e agrupo termos:
f'(x)=\frac{3}{8}\cdot5\,x^{-5/8}-\frac{3}{8}x^{-5/8}\cdot x - x^{3/8}.
Calculo \frac{3}{8}\cdot5=\frac{15}{8} e observo que \frac{3}{8}x^{-5/8}\cdot x=\frac{3}{8}x^{3/8}. Assim
f'(x)=\frac{15}{8}x^{-5/8}-\frac{3}{8}x^{3/8}-x^{3/8}.
Somando os termos com x^{3/8}:
-\frac{3}{8}x^{3/8}-x^{3/8}=-\frac{3}{8}x^{3/8}-\frac{8}{8}x^{3/8}=-\frac{11}{8}x^{3/8}.
Logo
f'(x)=\frac{15}{8}x^{-5/8}-\frac{11}{8}x^{3/8}.

Passo 6

Fatorar f'(x) para facilitar o estudo do sinal. Observe que x^{-5/8} é fator comum (para x>0), e também \tfrac{1}{8} é comum. Assim
f'(x)=\frac{1}{8}x^{-5/8}\bigl(15-11x\bigr).
Esta forma é muito útil porque separa fatores sempre positivos (ou com sinal conhecido) dos que determinam a mudança de sinal.

Passo 7

Identificar pontos críticos. Por definição, pontos críticos no domínio são pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe.
  • Zeros de f': resolver \dfrac{1}{8}x^{-5/8}(15-11x)=0. Como \dfrac{1}{8}x^{-5/8}\neq 0 para x>0, o fator que pode zerar é 15-11x. Logo
15-11x=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{15}{11}.
  • Pontos onde f' não existe: a expressão fatorada mostra x^{-5/8}, que não é finito em x=0. Como x=0 pertence ao domínio, x=0 é também um ponto crítico (derivada não existe aí).
    Portanto os pontos críticos no domínio são x=0 e x=\dfrac{15}{11}.

Passo 8

Explicar o teste da primeira derivada (rápida lição): o teste diz que, em um ponto crítico interior c,
  • se f' muda de positivo para negativo ao passar por c, então f tem máximo local em c;
  • se f' muda de negativo para positivo, então f tem mínimo local em c;
  • se não há mudança de sinal, então não há extremo local.
    Para um ponto que é extremo na fronteira do domínio (aqui x=0 é fronteira esquerda), se f' à direita tem sinal positivo, isso indica mínimo local na borda; se tiver sinal negativo à direita, indica máximo local na borda.

Passo 9

Estudar o sinal de f'(x) para x>0. A fatoração
f'(x)=\frac{1}{8}x^{-5/8}\bigl(15-11x\bigr)
mostra que \dfrac{1}{8}>0 e x^{-5/8}>0 para todo x>0. Portanto o sinal de f'(x) para x>0 é igual ao sinal de (15-11x).
  • Se 0<x<\dfrac{15}{11}, então 15-11x>0, logo f'(x)>0.
  • Se x>\dfrac{15}{11}, então 15-11x<0, logo f'(x)<0.

Passo 10

Concluir monotonicidade a partir do sinal de f'.
  • Para x em (0,\tfrac{15}{11}) temos f'(x)>0, então f é crescente nessa faixa.
  • Para x em (\tfrac{15}{11},\infty) temos f'(x)<0, então f é decrescente nessa faixa.
    Quanto ao ponto x=0 (extremo do domínio): não existe intervalo à esquerda, mas acabamos de ver que imediatamente à direita de 0 (pequenos x>0) temos f'(x)>0, ou seja, f aumenta ao sair de 0. Por isso x=0 é um mínimo local (na borda do domínio).

Passo 11

Classificação dos pontos críticos pelo teste da primeira derivada.
  • No ponto interior x=\dfrac{15}{11}: f' passa de positivo (para x<\tfrac{15}{11}) para negativo (para x>\tfrac{15}{11}). Pelo teste da primeira derivada isso indica que x=\dfrac{15}{11} é um ponto de máximo local.
  • No ponto de fronteira x=0: como f'(x)>0 imediatamente à direita, isso indica que x=0 é um mínimo local (mínimo relativo na borda do domínio).

Resposta

f é crescente em [0,\tfrac{15}{11}).
f é decrescente em (\tfrac{15}{11},\infty).
Pontos críticos: x=0 (mínimo local) e x=\tfrac{15}{11} (máximo local).

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