Seja
f(x)=x^{4 / 5}(1-x) .
Determine onde f é crescente e onde f é decrescente.
Obtenha e classifique os pontos críticos de f de acordo com o teste da primeira derivada.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4/5}(1-x)
e pede duas coisas:
  • Determinar em que intervalos f é crescente e em que intervalos f é decrescente.
  • Obter e classificar os pontos críticos de f usando o teste da primeira derivada.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f é f(x)=x^{4/5}(1-x).
  • Não foi indicada restrição de domínio; porta-se a observar que a raiz quinta está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, logo f está definida para todo x\in\mathbb{R}.
    A partir daqui vamos calcular a derivada, estudar seu sinal e aplicar o teste da primeira derivada.

Passo 2

Reescrevendo f como soma de potências (isso facilita aplicar a regra do poder):
f(x)=x^{4/5}(1-x)=x^{4/5}-x^{9/5}.
Uso da regra do poder: para um expoente real m e x\neq0 vale \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}. Aplicando a cada termo (observe que as fórmulas valem para x\neq0 quando o expoente gera potência com termo x^{m-1} que pode ser singular em 0):
f'(x)=\frac{4}{5}x^{-1/5}-\frac{9}{5}x^{4/5}.

Passo 3

Fatorando a expressão da derivada para analisar o sinal:
f'(x)=\frac{1}{5}\,x^{-1/5}\bigl(4-9x\bigr).
Observações importantes sobre domínio e pontos onde a derivada existe:
  • A função x^{1/5} (a raiz quinta) existe para todo x\in\mathbb{R}. Assim x^{-1/5}=1/x^{1/5} está definida para todo x\neq0, mas em x=0 essa expressão diverge. Logo f' está definida para todo x\neq0 e é indefinida em x=0.
  • Portanto possíveis pontos críticos são onde f'(x)=0 (ou seja, onde 4-9x=0) e onde f' não existe (aqui x=0).

Passo 4

Resolver f'(x)=0:
\frac{1}{5}\,x^{-1/5}(4-9x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4-9x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{4}{9}.
Além disso x=0 é um ponto onde f' não existe, portanto é também um ponto crítico. Assim os pontos críticos são x=0 e x=\dfrac{4}{9}.

Passo 5

Estudo do sinal de f' para determinar crescimento/decrescimento. A expressão fatorada é
f'(x)=\frac{1}{5}\,x^{-1/5}\bigl(4-9x\bigr).
A constante positiva 1/5 não afeta o sinal. Resta analisar o sinal de x^{-1/5} e de 4-9x:
  • Sinal de x^{-1/5}: como x^{1/5} (raiz quinta) preserva o sinal de x, tem-se que x^{1/5}>0 se x>0 e x^{1/5}<0 se x<0. O recíproco mantém o sinal: para x>0 temos x^{-1/5}>0; para x<0 temos x^{-1/5}<0. Em x=0 a expressão é indefinida.
  • Sinal de 4-9x: é positivo quando x<4/9, nulo em x=4/9 e negativo quando x>4/9.
Agora combinamos os sinais por intervalos:
  1. Para x<0: tem-se x^{-1/5}<0 e 4-9x>4 (portanto positiva). Produto: negativo. Logo f'(x)<0 para todo x<0.
  2. Para 0<x<4/9: tem-se x^{-1/5}>0 e 4-9x>0. Produto: positivo. Logo f'(x)>0 em (0,4/9).
  3. Para x>4/9: tem-se x^{-1/5}>0 e 4-9x<0. Produto: negativo. Logo f'(x)<0 em (4/9,\infty).
Portanto o sinal de f' é:
  • negativo em (-\infty,0),
  • indefinido em x=0,
  • positivo em (0,4/9),
  • zero em x=4/9,
  • negativo em (4/9,\infty).

Passo 6

Conclusões sobre crescimento/decrescimento a partir do sinal de f':
  • f é decrescente em (-\infty,0) porque f'(x)<0 aí.
  • f é crescente em (0,4/9) porque f'(x)>0 aí.
  • f é decrescente em (4/9,\infty) porque f'(x)<0 aí.
Note que o comportamento em x=0 deve ser analisado pelo teste da primeira derivada (mudança de sinal) já que f' é indefinida em 0.

Passo 7

Aplicando o teste da primeira derivada para classificar os pontos críticos:
  • Em x=0: à esquerda de 0 (isto é para x<0) temos f'(x)<0 e à direita de 0 (para 0<x<4/9) temos f'(x)>0. O sinal de f' muda de negativo para positivo em x=0, então f tem um mínimo local em x=0. O valor da função é
f(0)=0^{4/5}(1-0)=0.
  • Em x=\dfrac{4}{9}: imediatamente à esquerda (em (0,4/9)) temos f'(x)>0 e imediatamente à direita (em (4/9,\infty)) temos f'(x)<0. O sinal de f' muda de positivo para negativo, portanto f tem um máximo local em x=\dfrac{4}{9}. O valor correspondente é
f\!\left(\frac{4}{9}\right)=\left(\frac{4}{9}\right)^{4/5}\!\left(1-\frac{4}{9}\right) =\left(\frac{4}{9}\right)^{4/5}\cdot\frac{5}{9}.

Passo 8

Resumo conciso (preparando a resposta final): listamos os intervalos de crescimento/decrescimento e classificamos os pontos críticos:
  • Decrescente em (-\infty,0) e em (4/9,\infty).
  • Crescente em (0,4/9).
  • Pontos críticos: x=0 (mínimo local, f(0)=0) e x=4/9 (máximo local, f(4/9)=\bigl(4/9\bigr)^{4/5}\cdot 5/9).

Resposta

f é crescente em (0,\tfrac{4}{9}).
f é decrescente em (-\infty,0) e em (\tfrac{4}{9},\infty).
Pontos críticos: x=0 — mínimo local com f(0)=0.
x=\tfrac{4}{9} — máximo local com f\!\left(\tfrac{4}{9}\right)=\left(\tfrac{4}{9}\right)^{4/5}\cdot\dfrac{5}{9}.

Exercícios relacionados