Seja
Determine onde
é crescente e onde
é decrescente.
Obtenha e classifique os pontos críticos de
de acordo com o teste da primeira derivada.
Obtenha e classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar em que intervalos
é crescente e em que intervalos é decrescente. - Obter e classificar os pontos críticos de
usando o teste da primeira derivada.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
é . - Não foi indicada restrição de domínio; porta-se a observar que a raiz quinta está bem definida para todo
, logo está definida para todo .
A partir daqui vamos calcular a derivada, estudar seu sinal e aplicar o teste da primeira derivada.
Passo 2
Reescrevendo
como soma de potências (isso facilita aplicar a regra do poder):
Uso da regra do poder: para um expoente real
e
vale
. Aplicando a cada termo (observe que as fórmulas valem para
quando o expoente gera potência com termo
que pode ser singular em
):
Passo 3
Fatorando a expressão da derivada para analisar o sinal:
Observações importantes sobre domínio e pontos onde a derivada existe:
- A função
(a raiz quinta) existe para todo . Assim está definida para todo , mas em essa expressão diverge. Logo está definida para todo e é indefinida em . - Portanto possíveis pontos críticos são onde
(ou seja, onde ) e onde não existe (aqui ).
Passo 4
Resolver
:
Além disso
é um ponto onde
não existe, portanto é também um ponto crítico. Assim os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Estudo do sinal de
para determinar crescimento/decrescimento. A expressão fatorada é
A constante positiva
não afeta o sinal. Resta analisar o sinal de
e de
:
- Sinal de
: como (raiz quinta) preserva o sinal de , tem-se que se e se . O recíproco mantém o sinal: para temos ; para temos . Em a expressão é indefinida. - Sinal de
: é positivo quando , nulo em e negativo quando .
Agora combinamos os sinais por intervalos:
-
Para
: tem-se e (portanto positiva). Produto: negativo. Logo para todo . -
Para
: tem-se e . Produto: positivo. Logo em . -
Para
: tem-se e . Produto: negativo. Logo em .
Portanto o sinal de
é:
- negativo em
, - indefinido em
, - positivo em
, - zero em
, - negativo em
.
Passo 6
Conclusões sobre crescimento/decrescimento a partir do sinal de
:
-
é decrescente em porque aí. -
é crescente em porque aí. -
é decrescente em porque aí.
Note que o comportamento em
deve ser analisado pelo teste da primeira derivada (mudança de sinal) já que
é indefinida em
.
Passo 7
Aplicando o teste da primeira derivada para classificar os pontos críticos:
- Em
: à esquerda de (isto é para ) temos e à direita de (para ) temos . O sinal de muda de negativo para positivo em , então tem um mínimo local em . O valor da função é
- Em
: imediatamente à esquerda (em ) temos e imediatamente à direita (em ) temos . O sinal de muda de positivo para negativo, portanto tem um máximo local em . O valor correspondente é
Passo 8
Resumo conciso (preparando a resposta final): listamos os intervalos de crescimento/decrescimento e classificamos os pontos críticos:
- Decrescente em
e em . - Crescente em
. - Pontos críticos:
(mínimo local, ) e (máximo local, ).
Resposta
Pontos críticos: