Descreva e esboce as superfícies:
(cone circular)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever e esboçar a superfície dada pela equação $ z = 2 - x^{2} - y^{2} $. Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos analisar a equação, identificar que tipo de superfície ela representa e quais são suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação $ z = 2 - x^{2} - y^{2} $. Essa é uma equação do segundo grau em $ x $ e $ y $, o que indica que estamos lidando com uma superfície quadrática. As superfícies quadráticas mais comuns são esferas, paraboloides, cones, cilindros, entre outras.
Passo 3
Para identificar qual superfície é essa, podemos reescrever a equação de forma mais familiar. Vamos rearranjar:
Isso mostra que $ x^{2} + y^{2} $ está relacionado linearmente com $ z $. Sabemos que $ x^{2} + y^{2} $ representa círculos no plano $ xy $, e a relação com $ z $ sugere que à medida que $ z $ muda, o raio desses círculos muda também.
Passo 4
Observando a forma $ x^{2} + y^{2} = 2 - z $, percebemos que, para cada valor de $ z $, temos um círculo com raio $ \sqrt{2 - z} $. Isso caracteriza um paraboloide. Um paraboloide é uma superfície que parece um prato parabólico e pode ser elíptico ou circular.
Passo 5
No caso dessa equação, como a relação $ x^{2} + y^{2} $ é a mesma para $ x $ e $ y $, a superfície é um paraboloide circular. Esse tipo de paraboloide é simétrico em relação ao eixo $ z $ e abre para baixo, já que o coeficiente de $ z $ é negativo.
Passo 6
Para esboçar a superfície, podemos identificar alguns pontos chave:
- Quando $ z = 2 $, $ x^{2} + y^{2} = 0 $ → ponto $ (0, 0, 2) $.
- À medida que $ z $ diminui, o raio dos círculos aumenta.
- Quando $ z = 1 $, $ x^{2} + y^{2} = 1 $ → círculo de raio 1.
- Quando $ z = 0 $, $ x^{2} + y^{2} = 2 $ → círculo de raio $ \sqrt{2} $.
- Conforme $ z $ continua diminuindo, os círculos continuam crescendo.
Passo 7
Com base nisso, o esboço da superfície será um paraboloide circular com o vértice no ponto $ (0, 0, 2) $ e que se abre para baixo. Ele se expande à medida que desce ao longo do eixo $ z $, formando uma superfície suave e simétrica.
Resposta
A equação $ z = 2 - x^{2} - y^{2} $ representa um paraboloide circular com vértice no ponto $ (0, 0, 2) $ que se abre para baixo. No esboço, a superfície é simétrica em relação ao eixo $ z $ e forma círculos de raio crescente à medida que $ z $ diminui.