Obtenha o domínio das funções abaixo.
z=raiz2 y-x^2-y^2, D=(x, y) in R^2 / x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função $ z = \sqrt{2y - x^{2} - y^{2}} $. O domínio é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ que tornam a função definida. Além disso, temos a restrição $ D = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2} + y^{2} \leq 1\right} $, que nos dá uma condição extra para $ x $ e $ y $. Para resolver, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo. Então, temos que:
2y - x^2 - y^2 >= 0

Passo 3

Vamos reorganizar essa inequação para facilitar a análise:
-x^2 - y^2 + 2y >= 0
Multiplicando todos os termos por -1 (lembre-se que ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, o sinal da inequação troca):
x^2 + y^2 - 2y <= 0

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para o termo que envolve $ y $:
y
Isso simplifica para:
x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 <= 0

Passo 5

Essa inequação representa um círculo com raio 1 e centro no ponto $ (0, 1) $. Ou seja, todos os pontos $ (x, y) $ que estão a uma distância de no máximo 1 do ponto $ (0, 1) $.

Passo 6

Além disso, temos a restrição inicial:
x^2 + y^2 <= 1
Esse é outro círculo com raio 1, mas centrado na origem $ (0, 0) $.

Passo 7

O domínio da função será a interseção dessas duas regiões. Ou seja, os pontos que estão dentro ou sobre ambos os círculos simultaneamente.

Passo 8

Visualizando, essa interseção forma uma área que está dentro do círculo centrado na origem e também dentro do círculo centrado em $ (0, 1) $.

Passo 9

Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem ambas as condições:
(x, y)

Resposta

O domínio da função $ z = \sqrt{2y - x^{2} - y^{2}} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ em $ \mathbb{R}^{2} $ que satisfazem as duas inequações:
z = raiz2y - x^2 - y^2
e
(x, y)
Isso significa que $ (x, y) $ deve estar dentro dos dois círculos descritos pelas inequações acima.

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