Obtenha o domínio das funções abaixo.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função $ z = \sqrt{2y - x^{2} - y^{2}} $. O domínio é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ que tornam a função definida. Além disso, temos a restrição $ D = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2} + y^{2} \leq 1\right} $, que nos dá uma condição extra para $ x $ e $ y $. Para resolver, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa, porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo. Então, temos que:
Passo 3
Vamos reorganizar essa inequação para facilitar a análise:
Multiplicando todos os termos por
(lembre-se que ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, o sinal da inequação troca):
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para o termo que envolve $ y $:
Isso simplifica para:
Passo 5
Essa inequação representa um círculo com raio 1 e centro no ponto $ (0, 1) $. Ou seja, todos os pontos $ (x, y) $ que estão a uma distância de no máximo 1 do ponto $ (0, 1) $.
Passo 6
Além disso, temos a restrição inicial:
Esse é outro círculo com raio 1, mas centrado na origem $ (0, 0) $.
Passo 7
O domínio da função será a interseção dessas duas regiões. Ou seja, os pontos que estão dentro ou sobre ambos os círculos simultaneamente.
Passo 8
Visualizando, essa interseção forma uma área que está dentro do círculo centrado na origem e também dentro do círculo centrado em $ (0, 1) $.
Passo 9
Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem ambas as condições:
Resposta
O domínio da função $ z = \sqrt{2y - x^{2} - y^{2}} $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ em $ \mathbb{R}^{2} $ que satisfazem as duas inequações:
e
Isso significa que $ (x, y) $ deve estar dentro dos dois círculos descritos pelas inequações acima.