Resolva as integrais a seguir, evidenciando a técnica de integração utilizada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente tangente (
) e secante (
). Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de substituição, que é super útil quando temos um produto de funções que se relacionam pelas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é substituição na integração. Basicamente, é trocar uma parte da integral por uma nova variável para simplificar o cálculo. Observando nossa integral, notamos que a derivada de
é
. Isso é uma pista de que podemos usar
como nossa substituição.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Mas na nossa integral temos
. Podemos reescrever essa parte para se ajustar à nossa substituição:
Passo 4
Agora, nossa integral fica mais simples:
Substituindo
:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Vamos resolver a integral de
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Mas como temos limites de integração, vamos aplicar os limites diretamente.
Passo 6
Agora, substituímos de volta
:
Então, a integral definida fica:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites superior e inferior.
Primeiro, para
:
Então:
Agora, para
:
Então:
Resposta
Subtraindo os valores encontrados:
Portanto, o valor da integral é
.