Resolva as integrais a seguir, evidenciando a técnica de integração utilizada.
integral0^pi / 4 tg(x) sec ^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^pi / 4 tan(x) sec^4(x) , dx. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente tangente ( tan) e secante ( sec). Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de substituição, que é super útil quando temos um produto de funções que se relacionam pelas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é substituição na integração. Basicamente, é trocar uma parte da integral por uma nova variável para simplificar o cálculo. Observando nossa integral, notamos que a derivada de sec(x) é sec(x)tan(x). Isso é uma pista de que podemos usar sec(x) como nossa substituição.

Passo 3

Vamos definir:
u = sec(x)
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = sec(x)tan(x)
Isso significa que:
du = sec(x)tan(x) , dx
Mas na nossa integral temos tan(x)sec^4(x) , dx. Podemos reescrever essa parte para se ajustar à nossa substituição:
tan(x)sec^4(x) , dx = sec^3(x) cdot sec(x)tan(x) , dx = sec^3(x) , du

Passo 4

Agora, nossa integral fica mais simples:
integral tan(x)sec^4(x) , dx = integral sec^3(x) , du
Substituindo u = sec(x):
sec^3(x) = u^3
Então, a integral se torna:
integral u^3 , du

Passo 5

Vamos resolver a integral de u^3 em relação a u:
integral u^3 , du = u^44 + C
Onde C é a constante de integração. Mas como temos limites de integração, vamos aplicar os limites diretamente.

Passo 6

Agora, substituímos de volta u = sec(x):
u^44 = sec^4(x)4
Então, a integral definida fica:
[ sec^4(x)4 ]0^pi/4

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites superior e inferior.
Primeiro, para x = pi/4:
sec(pi4) = 1cos(pi4) = raiz2
Então:
sec^4(pi4)4 = (raiz2)^44 = 44 = 1
Agora, para x = 0:
sec(0) = 1cos(0) = 1
Então:
sec^4(0)4 = 1^44 = 14

Resposta

Subtraindo os valores encontrados:
1 - 14 = 34
Portanto, o valor da integral é 34.

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