Obtenha a equação da circunferência que passa por A(8,0) e é tangente à reta x-y=0 na origem.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou separar tudinho para ficar claro):
  • Dados fornecidos:
    • Ponto A(8,0).
    • Reta x-y=0 (que passa pela origem).
    • A circunferência é tangente a essa reta na origem.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a equação da circunferência que passa por A(8,0) e é tangente à reta x-y=0 no ponto (0,0).
  • Informação útil deduzida imediatamente:
    • Como a circunferência é tangente à reta no ponto (0,0), a circunferência também passa por (0,0) (o ponto de tangência pertence à circunferência).
  • Variáveis a determinar:
    • Centro da circunferência (h,k) e raio r.

Passo 2

Recordando a forma geral da equação da circunferência centrada em (h,k) com raio r:
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.
Explicação das variáveis:
  • x,y são as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência.
  • h,k são as coordenadas do centro da circunferência.
  • r é o raio (distância do centro a qualquer ponto da circunferência).

Passo 3

Condição geométrica da tangência no ponto (0,0):
  • A reta tangente à circunferência em um ponto é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangência.
  • A reta dada é x-y=0. Nessa forma ax+by+c=0 temos a=1, b=-1; portanto um vetor normal à reta é (1,-1).
  • No ponto de tangência (0,0) o vetor que vai do ponto de tangência ao centro é (h-0,k-0)=(h,k). Esse vetor deve ser paralelo ao vetor normal (1,-1).
    Logo existe um escalar t tal que
(h,k)=t(1,-1).
Isto é, podemos escrever
h=t,\qquad k=-t.
(Essa condição é a tradução algébrica do fato “o raio no ponto de tangência é normal à reta tangente”.)

Passo 4

Usar que a circunferência passa por (0,0) e por A(8,0). A distância do centro (h,k) a (0,0) é o raio, e também a distância a A é o mesmo raio. Em termos de quadrados das distâncias:
r^2=h^2+k^2
e
r^2=(h-8)^2+(k-0)^2=(h-8)^2+k^2.
Igualando as duas expressões para r^2:
h^2+k^2=(h-8)^2+k^2.
Cancelando k^2 de ambos os lados:
h^2=(h-8)^2.
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
h^2=h^2-16h+64.
Subtraindo h^2 de ambos os lados:
0=-16h+64.
Logo
16h=64\quad\Rightarrow\quad h=4.

Passo 5

Como h=4 e lembrando que k=-t com h=t, obtemos
k=-4.
Agora calculamos r^2 usando r^2=h^2+k^2:
r^2=4^2+(-4)^2=16+16=32.
Portanto a equação da circunferência, na forma padrão, é
(x-4)^2+(y+4)^2=32.
Se quiser uma forma expandida e simplificada, basta desenvolver e simplificar:
(x-4)^2+(y+4)^2= x^2-8x+16 + y^2+8y+16 = x^2+y^2-8x+8y+32.
Como isso iguala 32, ao subtrair 32 dos dois lados obtemos a forma sem termo constante:
x^2+y^2-8x+8y=0.

Passo 6

Checagem rápida (coisa de prova): verificar que o raio no ponto (0,0) é perpendicular à reta x-y=0.
  • Vetor do centro (4,-4) até (0,0) é (-4,4) ou, oposto, (4,-4); sua inclinação é -1.
  • A reta x-y=0 tem inclinação 1.
  • Como (-1)\cdot 1 = -1, as retas são perpendiculares, confirmando que a reta é realmente tangente no ponto (0,0).
    Boa! Tudo consistente.

Resposta

(x-4)^2+(y+4)^2=32
x2+y2-8x+8y=0

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