Obtenha a equação da circunferência que passa por
e é tangente à reta
na origem.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou separar tudinho para ficar claro):
- Dados fornecidos:
- Ponto
. - Reta
(que passa pela origem). - A circunferência é tangente a essa reta na origem.
- Ponto
- O que o problema pede:
- Determinar a equação da circunferência que passa por
e é tangente à reta no ponto .
- Determinar a equação da circunferência que passa por
- Informação útil deduzida imediatamente:
- Como a circunferência é tangente à reta no ponto
, a circunferência também passa por (o ponto de tangência pertence à circunferência).
- Como a circunferência é tangente à reta no ponto
- Variáveis a determinar:
- Centro da circunferência
e raio .
- Centro da circunferência
Passo 2
Recordando a forma geral da equação da circunferência centrada em
com raio
:
Explicação das variáveis:
-
são as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência. -
são as coordenadas do centro da circunferência. -
é o raio (distância do centro a qualquer ponto da circunferência).
Passo 3
Condição geométrica da tangência no ponto
:
- A reta tangente à circunferência em um ponto é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangência.
- A reta dada é
. Nessa forma temos , ; portanto um vetor normal à reta é . - No ponto de tangência
o vetor que vai do ponto de tangência ao centro é . Esse vetor deve ser paralelo ao vetor normal .
Logo existe um escalartal que
Isto é, podemos escrever
(Essa condição é a tradução algébrica do fato “o raio no ponto de tangência é normal à reta tangente”.)
Passo 4
Usar que a circunferência passa por
e por
. A distância do centro
a
é o raio, e também a distância a
é o mesmo raio. Em termos de quadrados das distâncias:
e
Igualando as duas expressões para
:
Cancelando
de ambos os lados:
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Logo
Passo 5
Como
e lembrando que
com
, obtemos
Agora calculamos
usando
:
Portanto a equação da circunferência, na forma padrão, é
Se quiser uma forma expandida e simplificada, basta desenvolver e simplificar:
Como isso iguala
, ao subtrair
dos dois lados obtemos a forma sem termo constante:
Passo 6
Checagem rápida (coisa de prova): verificar que o raio no ponto
é perpendicular à reta
.
- Vetor do centro
até é ou, oposto, ; sua inclinação é . - A reta
tem inclinação . - Como
, as retas são perpendiculares, confirmando que a reta é realmente tangente no ponto .
Boa! Tudo consistente.
Resposta
x2+y2-8x+8y=0