Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole 9 x^{2}-16 y^{2}=-144 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da hipérbole
9x^{2}-16y^{2}=-144
e pede: determinar a equação reduzida da elipse cuja extremidade do eixo menor são os focos dessa hipérbole e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada.
Informações relevantes dadas:
  • Equação da hipérbole: 9x^{2}-16y^{2}=-144.
  • A elipse procurada tem como extremos do eixo menor os focos da hipérbole.
  • A excentricidade da elipse é o inverso da excentricidade da hipérbole.

Passo 2

Colocar a hipérbole em forma padrão para identificar seus parâmetros. Multiplicando por -1 e dividindo por 144 obtemos:
\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1.
Nessa forma padrão (transversal no eixo y) identificamos:
a_{h}^{2}=9,\qquad b_{h}^{2}=16,
logo
a_{h}=3,\qquad b_{h}=4.
Para uma hipérbole com a parte positiva em y^{2} vale c_{h}^{2}=a_{h}^{2}+b_{h}^{2}. Assim
c_{h}^{2}=9+16=25\quad\Rightarrow\quad c_{h}=5.
Os focos da hipérbole estão em (0,\pm c_{h}), ou seja, em (0,\pm5).
(Explicação curta do conceito usado: numa hipérbole na forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1, a é o semi-eixo transverso, b o outro semi-eixo e os focos ficam a distância c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} do centro.)

Passo 3

Como os focos da hipérbole são (0,\pm5) e esses são os extremos do eixo menor da elipse procurada, o centro da elipse é a origem e o semi-eixo menor da elipse vale
b_{e}=5,
isto é, b_{e}^{2}=25.
(Explicação do conceito: para uma elipse centrada na origem e com eixos alinhados, a forma é \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a semi-eixo maior e b semi-eixo menor; os extremos do eixo menor ficam a (0,\pm b) se o maior está no eixo x.)

Passo 4

Calcular a excentricidade da hipérbole e a excentricidade da elipse (que é o inverso).
A excentricidade da hipérbole é
e_{h}=\frac{c_{h}}{a_{h}}=\frac{5}{3}.
Logo a excentricidade da elipse é
e_{e}=\frac{1}{e_{h}}=\frac{3}{5}.
(Explicação do conceito: para a hipérbole e=c/a. Para a elipse também e=c/a, mas aqui foi dada a relação inversa entre as excentricidades.)

Passo 5

Relacionar a_{e}, b_{e} e e_{e} na elipse. Para uma elipse com semi-eixos a_{e} (maior) e b_{e} (menor) vale
e_{e}=\sqrt{1-\frac{b_{e}^{2}}{a_{e}^{2}}}.
Isolando a_{e}^{2}:
\frac{b_{e}^{2}}{a_{e}^{2}}=1-e_{e}^{2}\quad\Rightarrow\quad a_{e}^{2}=\frac{b_{e}^{2}}{1-e_{e}^{2}}.
Substituindo b_{e}^{2}=25 e e_{e}=\dfrac{3}{5}:
1-e_{e}^{2}=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},
então
a_{e}^{2}=\frac{25}{16/25}=25\cdot\frac{25}{16}=\frac{625}{16}.
Portanto a_{e}^{2}=\dfrac{625}{16} e a_{e}=\dfrac{25}{4}.

Passo 6

Escrever a equação reduzida (forma padrão com RHS igual a 1). A elipse centrada na origem com semi-eixo maior ao longo de x tem equação
\frac{x^{2}}{a_{e}^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{e}^{2}}=1.
Substituindo os valores encontrados:
\frac{x^{2}}{625/16}+\frac{y^{2}}{25}=1.
Podemos simplificar multiplicando o primeiro termo:
\frac{16x^{2}}{625}+\frac{y^{2}}{25}=1,
ou multiplicando ambos os lados por 625 obtém-se a forma com coeficientes inteiros:
16x^{2}+25y^{2}=625.

Passo 7

Verificação rápida de consistência: calcular c_{e}^{2}=a_{e}^{2}-b_{e}^{2}:
c_{e}^{2}=\frac{625}{16}-25=\frac{625-400}{16}=\frac{225}{16}\quad\Rightarrow\quad c_{e}=\frac{15}{4}.
A excentricidade fica e_{e}=c_{e}/a_{e}=(15/4)/(25/4)=15/25=3/5, que é a desejada. O ponto (0,\pm5) é realmente extremo do eixo menor, como imposto.

Resposta

\dfrac{16x^{2}}{625}+\dfrac{y^{2}}{25}=1

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