Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole
e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da hipérbole
e pede: determinar a equação reduzida da elipse cuja extremidade do eixo menor são os focos dessa hipérbole e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada.
Informações relevantes dadas:
- Equação da hipérbole:
. - A elipse procurada tem como extremos do eixo menor os focos da hipérbole.
- A excentricidade da elipse é o inverso da excentricidade da hipérbole.
Passo 2
Colocar a hipérbole em forma padrão para identificar seus parâmetros. Multiplicando por
e dividindo por
obtemos:
Nessa forma padrão (transversal no eixo
) identificamos:
logo
Para uma hipérbole com a parte positiva em
vale
. Assim
Os focos da hipérbole estão em
, ou seja, em
.
(Explicação curta do conceito usado: numa hipérbole na forma
,
é o semi-eixo transverso,
o outro semi-eixo e os focos ficam a distância
do centro.)
Passo 3
Como os focos da hipérbole são
e esses são os extremos do eixo menor da elipse procurada, o centro da elipse é a origem e o semi-eixo menor da elipse vale
isto é,
.
(Explicação do conceito: para uma elipse centrada na origem e com eixos alinhados, a forma é
com
semi-eixo maior e
semi-eixo menor; os extremos do eixo menor ficam a
se o maior está no eixo
.)
Passo 4
Calcular a excentricidade da hipérbole e a excentricidade da elipse (que é o inverso).
A excentricidade da hipérbole é
Logo a excentricidade da elipse é
(Explicação do conceito: para a hipérbole
. Para a elipse também
, mas aqui foi dada a relação inversa entre as excentricidades.)
Passo 5
Relacionar
,
e
na elipse. Para uma elipse com semi-eixos
(maior) e
(menor) vale
Isolando
:
Substituindo
e
:
então
Portanto
e
.
Passo 6
Escrever a equação reduzida (forma padrão com RHS igual a
). A elipse centrada na origem com semi-eixo maior ao longo de
tem equação
Substituindo os valores encontrados:
Podemos simplificar multiplicando o primeiro termo:
ou multiplicando ambos os lados por
obtém-se a forma com coeficientes inteiros:
Passo 7
Verificação rápida de consistência: calcular
:
A excentricidade fica
, que é a desejada. O ponto
é realmente extremo do eixo menor, como imposto.