Determine os focos da cônica de equação \frac{(x-3)^{2}}{25}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a equação
\frac{(x-3)^{2}}{25}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1.
Pedem-se os focos da cônica definida por essa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O centro da cônica está no ponto cujas coordenadas aparecem subtraídas em x e y: isto é (3,2).
  • Os denominadores 25 e 9 correspondem aos quadrados dos semi-eixos: a^{2}=25 e b^{2}=9 — ainda precisamos decidir qual é a (maior) e qual é b (menor).
  • A cônica está na forma canônica de uma elipse deslocada (não há termo misto xy e os sinais são positivos).

Passo 2

Identificar o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b. Para a elipse na forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
o maior dos denominadores indica a^{2} se o eixo maior é horizontal, ou b^{2} se o maior for vertical. Aqui temos os denominadores 25 e 9. Como 25>9, concluímos que:
a^{2}=25,\qquad b^{2}=9.
Logo
a=5,\qquad b=3.

Passo 3

Explicar como se obtém a distância focal c (a distância do centro a cada foco) e de onde vem a relação \,c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Raciocínio didático curto: considere a elipse centrada na origem com eixo maior no eixo x,
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
com a>b. Os focos ficam em (\pm c,0). O ponto (0,b) pertence à elipse. A distância de (0,b) a cada foco (\pm c,0) é \sqrt{c^{2}+b^{2}}. Pela definição geométrica da elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é constante e igual a 2a. Para o ponto (0,b) essa soma é
\sqrt{c^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2a.
Dividindo por 2 e elevando ao quadrado obtemos
\sqrt{c^{2}+b^{2}}=a \quad\Rightarrow\quad c^{2}+b^{2}=a^{2},
logo
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Essa é a fórmula padrão para a distância focal de uma elipse quando a é o semi-eixo maior.

Passo 4

Calcular c para a elipse dada usando a fórmula \,c^{2}=a^{2}-b^{2}. Substituindo os valores que já encontramos:
c^{2}=25-9=16.
Portanto
c=\sqrt{16}=4.
(Ocasião para um lembrete: escolhemos c>0 e depois colocamos os dois sinais \pm ao localizar os dois focos.)

Passo 5

Determinar a direção do eixo maior e as coordenadas finais dos focos. Como a^{2}=25 está sob o termo em (x-3)^{2}, o eixo maior é horizontal. O centro da elipse é (h,k)=(3,2). Assim os focos estão a distância c=4 do centro ao longo do eixo x, ou seja em
(h\pm c,\;k)=(3\pm4,\;2).
Calculando:
3-4=-1,\qquad 3+4=7.
Portanto os focos são os pontos (-1,2) e (7,2).

Resposta

(-1,2)
(7,2)

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