Determine os focos da cônica de equação
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a equação
Pedem-se os focos da cônica definida por essa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O centro da cônica está no ponto cujas coordenadas aparecem subtraídas em
e : isto é . - Os denominadores
e correspondem aos quadrados dos semi-eixos: e — ainda precisamos decidir qual é (maior) e qual é (menor). - A cônica está na forma canônica de uma elipse deslocada (não há termo misto
e os sinais são positivos).
Passo 2
Identificar o semi-eixo maior
e o semi-eixo menor
. Para a elipse na forma
o maior dos denominadores indica
se o eixo maior é horizontal, ou
se o maior for vertical. Aqui temos os denominadores
e
. Como
, concluímos que:
Logo
Passo 3
Explicar como se obtém a distância focal
(a distância do centro a cada foco) e de onde vem a relação
.
Raciocínio didático curto: considere a elipse centrada na origem com eixo maior no eixo
,
com
. Os focos ficam em
. O ponto
pertence à elipse. A distância de
a cada foco
é
. Pela definição geométrica da elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é constante e igual a
. Para o ponto
essa soma é
Dividindo por
e elevando ao quadrado obtemos
logo
Essa é a fórmula padrão para a distância focal de uma elipse quando
é o semi-eixo maior.
Passo 4
Calcular
para a elipse dada usando a fórmula
. Substituindo os valores que já encontramos:
Portanto
(Ocasião para um lembrete: escolhemos
e depois colocamos os dois sinais
ao localizar os dois focos.)
Passo 5
Determinar a direção do eixo maior e as coordenadas finais dos focos. Como
está sob o termo em
, o eixo maior é horizontal. O centro da elipse é
. Assim os focos estão a distância
do centro ao longo do eixo
, ou seja em
Calculando:
Portanto os focos são os pontos
e
.