Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação x^{2}+y^{2}-4 x+2 y+1=0 e é perpendicular à reta da equação x+2 y-14=0.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas e pede uma só coisa. Vou listar tudo claramente:
  • Dada a circunferência de equação x^{2}+y^{2}-4x+2y+1=0.
  • Dada a reta de equação x+2y-14=0.
O que o problema pede:
  • Determinar a equação da reta que passa pelo centro da circunferência dada e que é perpendicular à reta dada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes do termo linear em x e y na equação da circunferência: -4 (em x) e 2 (em y).
  • A reta dada pode ser escrita na forma reduzida y=mx+b para identificar seu coeficiente angular m.

Passo 2

Encontrar o centro da circunferência. Explicação do método (completa dos quadrados) e atalho.
Uma circunferência no plano tem equação geral
x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0,
e o centro é \left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right). Aqui, comparando com a equação dada, tem-se D=-4 e E=2. Então, usando o atalho:
\text{centro}=\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)=\left(-\dfrac{-4}{2},-\dfrac{2}{2}\right)=(2,-1).
Para ficar ainda mais claro, faço a completação de quadrados rápida para verificar: escrevendo
x^{2}-4x+y^{2}+2y+1=0,
completo quadrados:
(x^{2}-4x+4)-(4) + (y^{2}+2y+1)-(1) +1=0.
Agrupando os quadrados:
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}-4-1+1=0
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}-4=0,
o que confirma que o centro é (2,-1) e que o raio é \sqrt{4}=2. (O raio não é pedido, mas a verificação ajuda a confirmar o centro.)

Passo 3

Encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta dada. Explicação do que é coeficiente angular.
A equação dada é x+2y-14=0. Isolando y:
2y = -x+14 \quad\Rightarrow\quad y = -\tfrac{1}{2}x + 7.
O coeficiente angular (inclinação) dessa reta é m_{1} = -\tfrac{1}{2}. Lembrete: a forma y=mx+b tem m como a inclinação — quanto a reta sobe (ou desce) verticalmente quando x aumenta de 1.

Passo 4

Determinar o coeficiente angular da reta perpendicular. Por que o produto das inclinações é -1.
Para duas retas não-verticais com inclinações m_{1} e m_{2}, elas são perpendiculares se, e só se,
m_{1}\cdot m_{2}=-1.
Um pequeno motivo algébrico: vetores diretores de retas com inclinações m_{1} e m_{2} podem ser tomados como (1,m_{1}) e (1,m_{2}); esses vetores são ortogonais quando o produto escalar é zero, isto é 1\cdot1 + m_{1}m_{2}=0, que dá m_{1}m_{2}=-1.
Aplicando isso: com m_{1}=-\tfrac{1}{2}, a inclinação da reta perpendicular é a solução m_{2} de
-\tfrac{1}{2}\cdot m_{2} = -1 \quad\Rightarrow\quad m_{2}=2.

Passo 5

Escrever a equação da reta procurada que passa pelo centro (2,-1) e tem inclinação m_{2}=2. Explicação do formato ponto-inclinação.
A forma ponto-inclinação de uma reta que passa por (x_{0},y_{0}) com inclinação m é
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Usando (x_{0},y_{0})=(2,-1) e m=2, obtemos a equação na forma ponto-inclinação:
y-(-1)=2\bigl(x-2\bigr),
ou seja,
y+1=2(x-2).
(A etapa seguinte é apenas simplificar essa expressão para obter a forma explícita da reta.)

Resposta

y=2x-5

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