Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação
e é perpendicular à reta da equação
.
Passo 1
O enunciado dá duas coisas e pede uma só coisa. Vou listar tudo claramente:
- Dada a circunferência de equação
. - Dada a reta de equação
.
O que o problema pede:
- Determinar a equação da reta que passa pelo centro da circunferência dada e que é perpendicular à reta dada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes do termo linear em
e na equação da circunferência: (em ) e (em ). - A reta dada pode ser escrita na forma reduzida
para identificar seu coeficiente angular .
Passo 2
Encontrar o centro da circunferência. Explicação do método (completa dos quadrados) e atalho.
Uma circunferência no plano tem equação geral
e o centro é
. Aqui, comparando com a equação dada, tem-se
e
. Então, usando o atalho:
Para ficar ainda mais claro, faço a completação de quadrados rápida para verificar: escrevendo
completo quadrados:
Agrupando os quadrados:
o que confirma que o centro é
e que o raio é
. (O raio não é pedido, mas a verificação ajuda a confirmar o centro.)
Passo 3
Encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta dada. Explicação do que é coeficiente angular.
A equação dada é
. Isolando
:
O coeficiente angular (inclinação) dessa reta é
. Lembrete: a forma
tem
como a inclinação — quanto a reta sobe (ou desce) verticalmente quando
aumenta de
.
Passo 4
Determinar o coeficiente angular da reta perpendicular. Por que o produto das inclinações é
.
Para duas retas não-verticais com inclinações
e
, elas são perpendiculares se, e só se,
Um pequeno motivo algébrico: vetores diretores de retas com inclinações
e
podem ser tomados como
e
; esses vetores são ortogonais quando o produto escalar é zero, isto é
, que dá
.
Aplicando isso: com
, a inclinação da reta perpendicular é a solução
de
Passo 5
Escrever a equação da reta procurada que passa pelo centro
e tem inclinação
. Explicação do formato ponto-inclinação.
A forma ponto-inclinação de uma reta que passa por
com inclinação
é
Usando
e
, obtemos a equação na forma ponto-inclinação:
ou seja,
(A etapa seguinte é apenas simplificar essa expressão para obter a forma explícita da reta.)