Obtenha uma equação para a cônica que satisfaz às condições:
(b) Parábola. Foco (4,0), diretriz x=2

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é (4,0) e cuja diretriz é a reta x=2. Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos (x,y) que têm igual distância ao foco e à diretriz.

Passo 2

Para um ponto genérico (x,y), a distância ao foco (4,0) é
raiz(x-4)^2 + y^2
e a distância à diretriz x=2 é l|x-2r|. Pela definição, igualamos essas distâncias:
raiz(x-4)^2 + y^2 ;=;l|x-2r|

Passo 3

Como a parábola fica à direita da diretriz x=2, temos x>=2 e, portanto, l|x-2r|=x-2. Agora elevamos ao quadrado:
(x-4)^2 + y^2 ;=;(x-2)^2

Passo 4

Expandindo e simplificando:
x^2 - 8x +16 + y^2 = x^2 -4x +4 Longrightarrow y^2 = (-4x+4) +8x -16 Longrightarrow y^2 = 4x -12
Fatorando,
y^2 = 4,(x-3)

Resposta

A equação da parábola é
y^2 = 4,(x-3)

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