Obtenha a equação da elipse e esboce-a, sendo dados:
Centro C=(3,4) e vértices A=(3,8) e B=(10,4).

Passo 1

O enunciado pede a equação da elipse e seu esboço, dado o centro C=(3,4) e dois vértices A=(3,8) e B=(10,4). O conteúdo envolvido é a forma canônica da elipse transladada, em que
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1,
com (h,k) o centro e a,b os semieixos sobre os eixos próximos a esses vértices.

Passo 2

Calculamos as distâncias do centro aos vértices para achar os semieixos. Do centro C=(3,4) a A=(3,8) temos
CA = \sqrt{(3-3)^2 + (8-4)^2} = 4,
logo um semieixo vale 4. Do centro C=(3,4) a B=(10,4) temos
CB = \sqrt{(10-3)^2 + (4-4)^2} = 7.

Passo 3

O semieixo maior é a=\max\{4,7\}=7 e ocorre na direção horizontal (pois B fica à direita e à esquerda do centro). O semieixo menor é b=\min\{4,7\}=4 e ocorre na direção vertical.

Passo 4

Substituindo h=3, k=4, a=7, b=4 na forma canônica transladada, a equação da elipse é
\frac{(x-3)^2}{7^2} \;+\;\frac{(y-4)^2}{4^2} \;=\;1
ou seja
\frac{(x-3)^2}{49} + \frac{(y-4)^2}{16} = 1.
Os outros dois vértices (co-vértices) ficam em (3,4\pm4)=(3,8) e (3,0), e os vértices maiores em (3\pm7,4)=(10,4) e (-4,4).

Passo 5

Para esboçar:
– Desenhe um plano cartesiano.
– Marque o centro C=(3,4).
– Marque os vértices horizontais em (10,4) e (-4,4) e os vértices verticais em (3,8) e (3,0).
– Trace uma curva suave ligando esses quatro pontos, formando uma elipse alongada horizontalmente.

Resposta

\frac{(x-3)^2}{49} + \frac{(y-4)^2}{16} = 1.

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