Obtenha a equação da elipse e esboce-a, sendo dados:
Centro C=(0,0), a=5, e=\frac{2}{3} e eixo focal na direção de u=(3,4). Aqui e=\frac{c}{a} é chamada excentricidade da elipse. Note que como a>c então e<1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da elipse com centro em C=(0,0), semi-eixo maior a=5, excentricidade e=\tfrac{2}{3} e cujo eixo focal (eixo maior) está na direção do vetor u=(3,4). Para montar a equação, vamos:
  1. calcular c=e\,a e as coordenadas dos focos;
  2. obter o semi-eixo menor b via b^2=a^2-c^2;
  3. encontrar um vetor unitário na direção de u e um vetor ortogonal ;
  4. escrever a forma canônica em coordenadas giradas;
  5. transformar numa expressão só em x,y.

Passo 2

Como e=\tfrac{c}{a}, temos
c=e\,a = \frac{2}{3}\cdot5 = \frac{10}{3}.
Os focos ficam em \pm c\,û. Primeiro normalizamos
u = (3,4),\quad \|u\| = 5,\quad û = \Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr).
Logo os focos são
F_1 = \frac{10}{3}\,û = \Bigl(2,\tfrac{8}{3}\Bigr), \quad F_2 = -\frac{10}{3}\,û = \Bigl(-2,-\tfrac{8}{3}\Bigr).

Passo 3

O semi-eixo menor satisfaz
b^2 = a^2 - c^2 = 25 - \Bigl(\tfrac{10}{3}\Bigr)^{2} = 25 - \frac{100}{9} = \frac{125}{9},
logo b = \tfrac{5\sqrt5}{3}.

Passo 4

Escolhemos û=(3/5,4/5) para o eixo maior e um vetor unitário ortogonal
v̂ = \Bigl(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\Bigr)
para o eixo menor. Em coordenadas giradas (X,Y) definidas por
X = (x,y)\cdot û,\quad Y = (x,y)\cdot v̂,
a elipse fica na forma canônica
\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{X^2}{25} + \frac{Y^2}{125/9} = 1.

Passo 5

Voltando a x,y, note que
X = \frac{3x+4y}{5}, \quad Y = \frac{-4x+3y}{5}.
Substituindo em \tfrac{X^2}{25} + \tfrac{Y^2}{125/9}=1 e simplificando, obtemos
\frac{(3x+4y)^2}{625} \;+\;\frac{9\,(-4x+3y)^2}{3125} \;=\;1
ou, multiplicando por 3125,
5\,(3x+4y)^2 \;+\;9\,(-4x+3y)^2 \;=\;3125.

Resposta

A equação da elipse é
5\,(3x+4y)^2 \;+\;9\,(-4x+3y)^2 \;=\;3125.
O eixo maior tem comprimento 2a=10 e está alinhado na direção de u=(3,4), com extremidades em \pm5\,û. O eixo menor tem comprimento 2b=\tfrac{10\sqrt5}{3} na direção de v̂=(-4/5,3/5). Os focos estão em \bigl(\pm2,\pm\frac{8}{3}\bigr). O esboço deve mostrar o centro na origem, o retângulo de vértices \pm5û, \pm b\,v̂ e a curva que passa por esses pontos.

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