Obtenha a equação da elipse e esboce-a, sendo dados:
Centro
e eixo focal na direção de
. Aqui
é chamada excentricidade da elipse. Note que como
então
.
Centro
Passo 1
O enunciado pede a equação da elipse com centro em
, semi-eixo maior
, excentricidade
e cujo eixo focal (eixo maior) está na direção do vetor
. Para montar a equação, vamos:
- calcular
e as coordenadas dos focos; - obter o semi-eixo menor
via ; - encontrar um vetor unitário
na direção de e um vetor ortogonal ; - escrever a forma canônica em coordenadas giradas;
- transformar numa expressão só em
.
Passo 2
Como
, temos
Os focos ficam em
. Primeiro normalizamos
Logo os focos são
Passo 3
O semi-eixo menor satisfaz
logo
.
Passo 4
Escolhemos
para o eixo maior e um vetor unitário ortogonal
para o eixo menor. Em coordenadas giradas
definidas por
a elipse fica na forma canônica
Passo 5
Voltando a
, note que
Substituindo em
e simplificando, obtemos
ou, multiplicando por
,
Resposta
A equação da elipse é
O eixo maior tem comprimento
e está alinhado na direção de
, com extremidades em
. O eixo menor tem comprimento
na direção de
. Os focos estão em
. O esboço deve mostrar o centro na origem, o retângulo de vértices
,
e a curva que passa por esses pontos.