Obtenha a equação da elipse e esboce-a, sendo dados:
\operatorname{Focos} F_{1}=(-3,0), F_{2}=(3,0) e passando pelo ponto P=(2,2).

Passo 1

O enunciado dá os focos F_{1}=(-3,0) e F_{2}=(3,0) de uma elipse cujo centro é a origem e eixo maior é horizontal. Sabemos que, para qualquer ponto P da elipse, a soma das distâncias a F_{1} e F_{2} é constante e igual a 2a. Além disso, a elipse passa por P=(2,2). Nosso objetivo é encontrar a e b (sendo c=3 o semi-distância focal) e escrever a equação no formato
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

Passo 2

Calculamos as distâncias de P aos focos:
d_{1}=|PF_{1}|=\sqrt{(2-(-3))^{2}+(2-0)^{2}} =\sqrt{5^{2}+2^{2}} =\sqrt{29},
d_{2}=|PF_{2}|=\sqrt{(2-3)^{2}+(2-0)^{2}} =\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}} =\sqrt{5}.
Como 2a=d_{1}+d_{2}, temos
2a=\sqrt{29}+\sqrt{5}.

Passo 3

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a=\frac{\sqrt{29}+\sqrt{5}}{2},
e
a^{2} =\frac{(\sqrt{29}+\sqrt{5})^{2}}{4} =\frac{29+5+2\sqrt{145}}{4} =\frac{17+\sqrt{145}}{2}.
Sabendo que c=3 e que c^{2}=a^{2}-b^{2}, obtemos
b^{2}=a^{2}-c^{2} =\frac{17+\sqrt{145}}{2}-9 =\frac{-1+\sqrt{145}}{2}.

Passo 4

Substituindo em \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a equação da elipse fica
\frac{x^2}{\tfrac{17+\sqrt{145}}{2}} \;+\; \frac{y^2}{\tfrac{-1+\sqrt{145}}{2}} \;=\; 1.

Passo 5

Esboço da elipse:
  • Centro na origem.
  • Semi-eixo maior a\approx3{,}81, então vértices em (\pm a,0).
  • Semi-eixo menor b\approx2{,}35, então vértices em (0,\pm b).
  • Focos em (-3,0) e (3,0).
  • Ponto P=(2,2) pertence à curva.
Desenhe uma curva simétrica em torno dos eixos, passando por esses vértices e por P, com os focos no interior.

Resposta

\frac{x^2}{\tfrac{17+\sqrt{145}}{2}} \;+\; \frac{y^2}{\tfrac{-1+\sqrt{145}}{2}} \;=\; 1.

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