Obtenha a equação da elipse e esboce-a, sendo dados:
\operatorname{Focos} F_{1}=(0,-4), F_{2}=(0,4) e passando por A=(3,0).

Passo 1

O enunciado dá os focos F_1=(0,-4) e F_2=(0,4) e diz que a elipse passa por A=(3,0). O centro da elipse é o ponto médio entre os focos, e ela satisfaz a definição “a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é constante e vale 2a”. Vamos usar essa definição para encontrar a, depois calcular b via b^2 = a^2 - c^2, onde c é a distância do centro a cada foco, e então escrever a equação padrão.

Passo 2

O centro C é o ponto médio de F_1 e F_2:
C = \bigl(0,\tfrac{-4+4}{2}\bigr) = (0,0).
Como F_1 e F_2 estão em (0,-4) e (0,4), temos
c = \text{distância do centro a um foco} = 4.â

Passo 3

Pela definição da elipse, para o ponto A=(3,0) vale
\overline{AF_1} + \overline{AF_2} = 2a.
Calculamos
\overline{AF_1} = \sqrt{(3-0)^2 + (0+4)^2} = 5, \quad \overline{AF_2} = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = 5,
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2a = 5 + 5 = 10 \quad\Longrightarrow\quad a = 5.

Passo 4

Usamos a relação característica da elipse de centro na origem e eixo maior vertical:
b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9.

Passo 5

A equação canônica, com eixo maior ao longo do eixo y, é
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1.
Substituindo a^2=25 e b^2=9, obtemos
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1.

Passo 6

Para esboçar:
  • Interceptos com os eixos em (\pm 3,0) e (0,\pm 5).
  • Focos em (0,\pm 4), dentro da elipse.
    Desenhe uma curva suave ligando esses pontos, mais “esticada” na vertical.

Resposta

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1
Esboço: eixo menor de semi-eixo 3 no sentido horizontal, eixo maior de semi-eixo 5 no sentido vertical, focos em (0,\pm4).

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