A partir da matriz de cofatores, determine a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{ccc}8 & 4 & 2 \\\\ 4 & 3 & 1 \\\\ -8 & -2 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 8 & 4 & 2\\\\ 4 & 3 & 1\\\\ -8 & -2 & 0 \end{pmatrix}
usando a matriz de cofatores. Vamos aplicar o método padrão para matrizes 3\times3: calcular \det(A), formar a matriz de cofatores C, transpor para obter C^T e finalmente
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,C^T.

Passo 2

Calcular \det(A). Usando expansão por cofatores na primeira linha,
\det(A) =8\det\begin{pmatrix}3&1\\\ -2&0\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}4&1\\\ -8&0\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}4&3\\\ -8&-2\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}3&1\\\ -2&0\end{pmatrix}=2,\quad \det\begin{pmatrix}4&1\\\ -8&0\end{pmatrix}=8,\quad \det\begin{pmatrix}4&3\\\ -8&-2\end{pmatrix}=16,
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\det(A)=8\cdot2 -4\cdot8 +2\cdot16 =16.

Passo 3

Formar a matriz de cofatores C. Cada cofactor C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente. Calculando rapidamente cada entrada, obtemos
C = \begin{pmatrix} 2 & -8 & 16\\\\ -4 & 16 & -16\\\\ -2 & 0 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 4

A inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,C^T = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 2 & -4 & -2\\\\ -8 & 16 & 0\\\\ 16 & -16 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8}\\\\ -\frac{1}{2} & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8}\\\\ -\frac{1}{2} & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

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