Seja
um subespaço vetorial de um espaço vetorial
finitamente gerado sobre
. Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é subespaço de um espaço vetorial
finitamente gerado sobre
e que
O que precisamos usar é a definição de dimensão (como o número de vetores de qualquer base), o fato de que vetores independentes em
permanecem independentes em
e o teorema de que, em um espaço de dimensão
, qualquer conjunto de
vetores independentes é base (logo gera todo o espaço).
Passo 2
Seja
. Como
, escolhemos uma base de
com
vetores, digamos
que é, por definição, linearmente independente em
. Como
, esse mesmo conjunto é linearmente independente em
.
Passo 3
Num espaço vetorial
de dimensão
, todo conjunto de
vetores linearmente independentes forma base de
. Logo
é uma base de
e, portanto, gera
.
Passo 4
Como cada
é combinação linear de
, temos
. Assim
. Juntando com a inclusão
, segue que