Seja U um subespaço vetorial de um espaço vetorial V finitamente gerado sobre K. Mostre que se dimK U=dimK V, então U=V.

Passo 1

O enunciado diz que U é subespaço de um espaço vetorial V finitamente gerado sobre K e que
dimK U = dimK V
O que precisamos usar é a definição de dimensão (como o número de vetores de qualquer base), o fato de que vetores independentes em U permanecem independentes em V e o teorema de que, em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores independentes é base (logo gera todo o espaço).

Passo 2

Seja n = dimKV. Como dimKU = n, escolhemos uma base de U com n vetores, digamos
u1,dots,un
que é, por definição, linearmente independente em U. Como Usubseteq V, esse mesmo conjunto é linearmente independente em V.

Passo 3

Num espaço vetorial V de dimensão n, todo conjunto de n vetores linearmente independentes forma base de V. Logo
u1,dots,un
é uma base de V e, portanto, gera V.

Passo 4

Como cada vin V é combinação linear de u1,dots,un, temos vin U. Assim Vsubseteq U. Juntando com a inclusão Usubseteq V, segue que
U = V

Resposta

U = V

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