Sejam
e
. Mostre que
é um subespaço de
e ache uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado define
e
Precisamos mostrar que
é subespaço de
e, em seguida, encontrar uma base e a dimensão de
. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, aplicação linear (o traço) e construção de base com matrizes elementares.
Passo 2
Para verificar que
é subespaço de
note que:
- O elemento nulo
de satisfaz , logo . - Se
então
portanto
.
3) Se e
então
3) Se
logo
.
Assim é fechado em soma e multiplicação escalar e contém o zero, portanto é subespaço.
Assim
Passo 3
O traço é uma aplicação linear
Como
é não nula e atinge qualquer escalar (por exemplo,
), tem posto
. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
Passo 4
Para construir uma base de
, partimos da base canônica de
formada pelas matrizes elementares
.
As matrizes com
já têm traço zero. Faltam as diagonais, pois cada
tem
. Uma escolha natural de
combinações lineares de traço zero é
As matrizes
Esses vetores são independentes e, junto com
, formam uma família geradora de
. Logo uma base de
é
Passo 5
O número de elementos dessa base é
confirmando a dimensão encontrada.
Resposta
Uma base explícita é