Sejam V=Mn(C) e W=A in V ; tr A=0. Mostre que W é um subespaço de V e ache uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define V=Mn(C) e
W = Ain Vmid trA=0
Precisamos mostrar que W é subespaço de V e, em seguida, encontrar uma base e a dimensão de W. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, aplicação linear (o traço) e construção de base com matrizes elementares.

Passo 2

Para verificar que W é subespaço de V note que:
  1. O elemento nulo 0 de V satisfaz tr0=0, logo 0in W.
  2. Se A,Bin W então
tr(A+B)=trA+trB=0+0=0,
portanto A+Bin W.
3) Se lambdainC e Ain W então
tr(lambda A)=lambda,trA=lambdacdot0=0,
logo lambda Ain W.
Assim W é fechado em soma e multiplicação escalar e contém o zero, portanto é subespaço.

Passo 3

O traço é uma aplicação linear
tr:VtoC
Como tr é não nula e atinge qualquer escalar (por exemplo, tr(lambda I)=nlambda), tem posto dimim(tr)=1. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
dim W = dimker(tr) = dim V - dimim(tr) = n^2 - 1

Passo 4

Para construir uma base de W=ker(tr), partimos da base canônica de V formada pelas matrizes elementares Eij.
As matrizes Eij com ineq j já têm traço zero. Faltam as diagonais, pois cada Eii tem trEii=1. Uma escolha natural de n-1 combinações lineares de traço zero é
E11-E22,; E22-E33,; ldots,; E,n-1,n-1-Enn
Esses vetores são independentes e, junto com Eij:ineq j, formam uma família geradora de ker(tr). Logo uma base de W é
,Eijmid ineq j;cup;,E11-E22,,E22-E33,,ldots,,E,n-1,n-1-Enn

Passo 5

O número de elementos dessa base é
(n^2-n)+(,n-1,)=n^2-1,
confirmando a dimensão encontrada.

Resposta

W é subespaço de V de dimensão n^2-1.
Uma base explícita é
,Eijmid ineq j ;cup; ,E11-E22,,E22-E33,,ldots,,E,n-1,n-1-Enn

Exercícios relacionados