Obtenha a equação da esfera centrada no ponto (5,4,7) que esteja totalmente contida no primeiro octante. ^dag>=r

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera de centro em (5,4,7) que fique totalmente dentro do primeiro octante, isto é, em x>=0, y>=0, z>=0. O conteúdo aqui é geometria no espaço: equação geral da esfera e distância de pontos a planos coordenados.

Passo 2

Lembrando que a equação de uma esfera de centro (a,b,c) e raio r é
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2
Aqui temos (a,b,c)=(5,4,7), resta determinar r.

Passo 3

Para a esfera ficar totalmente em x>=0, y>=0, z>=0, o ponto mais próximo de cada plano coordenado será justamente o centro projetado perpendicularmente. Assim as distâncias do centro aos planos são
dx=0=5, dy=0=4, dz=0=7

Passo 4

O raio r deve ser no máximo a menor dessas distâncias, senão a esfera ultrapassa o plano correspondente. Logo
r = min5,4,7 = 4

Passo 5

Substituindo na equação geral com (a,b,c)=(5,4,7) e r=4, obtemos
(x-5)^2 + (y-4)^2 + (z-7)^2 = 4^2 = 16

Resposta

(x-5)^2 + (y-4)^2 + (z-7)^2 = 16

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