Obtenha a equação da esfera centrada no ponto
que esteja totalmente contida no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma esfera de centro em
que fique totalmente dentro do primeiro octante, isto é, em
,
,
. O conteúdo aqui é geometria no espaço: equação geral da esfera e distância de pontos a planos coordenados.
Passo 2
Lembrando que a equação de uma esfera de centro
e raio
é
Aqui temos
, resta determinar
.
Passo 3
Para a esfera ficar totalmente em
,
,
, o ponto mais próximo de cada plano coordenado será justamente o centro projetado perpendicularmente. Assim as distâncias do centro aos planos são
Passo 4
O raio
deve ser no máximo a menor dessas distâncias, senão a esfera ultrapassa o plano correspondente. Logo
Passo 5
Substituindo na equação geral com
e
, obtemos