Seja
um operador linear diagonalizável sobre o espaço vetorial
-dimensional
, e seja
um subespaço invariante sob
. Demonstrar que o operador
é diagonalizável.
24. Seja T o operador integral indefinida
sobre o espaço das funções contínuas sobre o intervalo
. O espaço das funções polinomiais é invariante sob
? O espaço das funções diferenciáveis? O espaço das funções que se anulam em
?
24. Seja T o operador integral indefinida
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, temos um operador linear
diagonalizável em um espaço vetorial de dimensão
, e um subespaço
que é invariante sob
. Precisamos mostrar que a restrição
é também diagonalizável. Depois, consideramos o operador integral indefinida
no espaço
e perguntam se são invariantes sob
:
. o espaço dos polinômios;
. o espaço das funções diferenciáveis;
. o espaço das funções que se anulam em
.
Passo 2
Para provar que
é diagonalizável, lembramos que
diagonalizável significa que
onde
são os autoespaços. Seja
. Como
, escrevemos
Aplicando
, temos
Como
é invariante,
. Mas então cada componente
deve ficar em
, forçando
. Logo
Isso mostra que em
existe uma base formada por autovetores de
, ou seja,
é diagonalizável.
Passo 3
Espaço dos polinômios
. Se
, então
que é novamente um polinômio. Logo
é invariante sob
.
Passo 4
Espaço das funções diferenciáveis
. Se
é diferenciável, então é contínua, então
é diferenciável e
Assim
sempre, e esse espaço é invariante.
Passo 5
Espaço
. Se
, em geral
não precisa ser zero (por exemplo,
zera em
mas sua integral até
é
). Logo este espaço não é invariante.
Resposta
O espaço dos polinômios é invariante.
O espaço das funções diferenciáveis é invariante.
O espaço das funções que se anulam em