Seja T um operador linear diagonalizável sobre o espaço vetorial n-dimensional V, e seja W um subespaço invariante sob T. Demonstrar que o operador TW é diagonalizável.
24. Seja T o operador integral indefinida
(T f)(x)=integral0^x f(t) d t
sobre o espaço das funções contínuas sobre o intervalo [0,1]. O espaço das funções polinomiais é invariante sob T ? O espaço das funções diferenciáveis? O espaço das funções que se anulam em x=12 ?

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, temos um operador linear T diagonalizável em um espaço vetorial de dimensão n, e um subespaço W que é invariante sob T. Precisamos mostrar que a restrição
TW:Wto W
é também diagonalizável. Depois, consideramos o operador integral indefinida
(Tf)(x)=integral0^xf(t),dt
no espaço C([0,1]) e perguntam se são invariantes sob T:
1. o espaço dos polinômios;
2. o espaço das funções diferenciáveis;
3. o espaço das funções que se anulam em x=tfrac12.

Passo 2

Para provar que TW é diagonalizável, lembramos que T diagonalizável significa que
V=opluslambdaElambda,
onde Elambda=ker(T-lambda I) são os autoespaços. Seja win W. Como V=opluslambdaElambda, escrevemos
w=sumlambdawlambda, wlambdain Elambda
Aplicando T, temos
T(w)=sumlambdaT(wlambda)=sumlambdalambda,wlambda
Como W é invariante, T(w)in W. Mas então cada componente lambda,wlambda deve ficar em W, forçando wlambdain W. Logo
W=opluslambda(Wcap Elambda)
Isso mostra que em W existe uma base formada por autovetores de T, ou seja, TW é diagonalizável.

Passo 3

Espaço dos polinômios P. Se f(t)=sumk=0^n ak t^k, então
(Tf)(x)=integral0^xsumk=0^n ak t^k,dt =sumk=0^n akx^k+1k+1,
que é novamente um polinômio. Logo P é invariante sob T.

Passo 4

Espaço das funções diferenciáveis C^1([0,1]). Se f é diferenciável, então é contínua, então Tf é diferenciável e
l(Tfr)'(x)=f(x)
Assim Tfin C^1([0,1]) sempre, e esse espaço é invariante.

Passo 5

Espaço ,fmid f(tfrac12)=0. Se f(tfrac12)=0, em geral
(Tf)l(tfrac12r) =integral0^1/2f(t),dt
não precisa ser zero (por exemplo, f(t)=t-tfrac12 zera em t=tfrac12 mas sua integral até tfrac12 é -tfrac18neq0). Logo este espaço não é invariante.

Resposta

TW é diagonalizável.
O espaço dos polinômios é invariante.
O espaço das funções diferenciáveis é invariante.
O espaço das funções que se anulam em x=tfrac12 não é invariante.

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