O vértice de uma pirâmide regular é P=(\sqrt{2}, 2,0) e sua base é um quadrado A B C D contido no plano \pi: x=z=0. Sabendo que A=(0,2,0), determine os outros três vértices.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide regular de vértice P=(\sqrt2,2,0) e base um quadrado ABCD contido no plano
\pi:\;x - z = 0
e um de seus vértices é A=(0,2,0). Para resolver vamos: (i) achar o centro O do quadrado como projeção ortogonal de P em \pi, (ii) obter o vetor \overrightarrow{OA}, (iii) encontrar um vetor perpendicular a \overrightarrow{OA} em \pi e (iv) gerar os outros vértices por rotações de 90^\circ.
Passo 2
O vetor normal a \pi é
n=(1,0,-1),
pois \pi tem equação n\cdot(x,y,z)=0. Para projetar P em \pi usamos
O \;=\; P \;-\;\frac{n\cdot P}{\|n\|^2}\,n.
Aqui n\cdot P = \sqrt2 e \|n\|^2=2, então
O = (\sqrt2,2,0)\;-\;\frac{\sqrt2}{2}\,(1,0,-1) = \Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,2,\,\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr).
Passo 3
Calculemos o vetor
\overrightarrow{OA} = A - O = \Bigl(0 - \tfrac{\sqrt{2}}{2},\, 2 - 2,\, 0 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\, 0,\, -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).
logo \overrightarrow{OA} é o semi-diagonal do quadrado de módulo 1 (e o lado do quadrado vale \sqrt{2}).
Passo 4
Para obter um vetor em \pi perpendicular a \overrightarrow{OA} fazemos o produto vetorial com o versor normal n/\sqrt2:
v =\frac{n}{\sqrt2}\times\overrightarrow{OA} =(1/\sqrt2,0,-1/\sqrt2)\times\bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},0,-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) =(0,1,0).
Note que \|v\|=1 e v\perp\overrightarrow{OA} em \pi.
Passo 5
Os vértices do quadrado são obtidos girando \overrightarrow{OA} em torno de O de 90^\circ sucessivos. Assim:
B = O + v =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},2,\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)+(0,1,0) =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},3,\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr),
C = O - \overrightarrow{OA} =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},2,\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2},0,-\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) =\bigl(\sqrt2,2,\sqrt2\bigr),
D = O - v =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},2,\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)-(0,1,0) =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},1,\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr).