Sabendo que |u|=2,|v|=1 e ang(u, v)=30^circ, calcule:
| u wed>=(v+w)+(w+2 u) wed>= u |.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos dois vetores |vec awed>= vec b| = |vec a|,|vec b|sin(ângulo entre vec a,vec b) e com , e o ângulo entre eles é . Também aparece um vetor , mas sem informações numéricas—isso significa que o resultado vai “cair em cima” de algo que não dependa de . O que a gente precisa usar aqui é o produto vetorial (ou cross product), suas propriedades (distributividade, anticomutatividade e o fato de ) e a fórmula do módulo do produto vetorial
â

Passo 2

Vamos reescrever a expressão que precisamos simplificar:
vec uwed>=(vec v+vec w) ;+; (vec w+2vec u)wed>=vec u
Pela propriedade distributiva do produto vetorial:
vec uwed>=(vec v+vec w) = vec uwed>=vec v + vec uwed>=vec w,
e
(vec w+2vec u)wed>=vec u = vec wwed>=vec u + 2,(vec uwed>=vec u)

Passo 3

Agora, lembrando que o produto vetorial é anticomutativo, ou seja vec uwed>=vec w + vec wwed>=vec u = vec uwed>=vec w - vec uwed>=vec w = vec 0, , e que 2,(vec uwed>=vec u) = 2,vec 0 = vec 0 (vetor nulo), temos:
vec uwed>=vec v
e
Então a soma toda vira só

Passo 4

A gente descobriu que
vec uwed>=(vec v+vec w) + (vec w+2vec u)wed>=vec u = vec uwed>=vec v
Falta só achar o módulo disso. Pela fórmula do módulo do cross product:
|vec uwed>=vec v| = |vec u|,|vec v|;sinl(ang<=(vec u,vec v)r)

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
|vec uwed>=vec v| = 2 times 1 times sin 30^circ = 2 times 1 times tfrac12 = 1 , e ,

Resposta

1

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