Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das quatro elipses, que eu determine:
- o centro;
- o eixo maior (orientação e comprimento);
- o eixo menor (orientação e comprimento);
- a distância focal (isto é, a distância
do centro a cada foco); - as coordenadas dos focos;
- a excentricidade.
As elipses dadas são:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Estas são equações na forma canônica de elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados (sem termos mistos
). A resolução começa agora.
Passo 2
Vou explicar a teoria necessária — passo a passo, como se estivéssemos juntos fazendo a prova.
- Forma padrão alinhada aos eixos e centro
:
ou
onde
e
são números positivos e, por convenção útil para a prova, escolhemos
. Isso faz com que:
-
seja o semi-eixo maior (meia-comprimento do eixo maior); -
seja o semi-eixo menor (meia-comprimento do eixo menor).
- Orientação do eixo maior:
- Se o maior denominador (o que dá
) está sob o termo com , então o eixo maior é horizontal; - Se o maior denominador está sob o termo com
, o eixo maior é vertical.
- Comprimentos dos eixos:
- Comprimento do eixo maior
. - Comprimento do eixo menor
.
- Distância focal
(distância do centro a cada foco) e relação com :
Isto vem da definição geométrica de elipse e da equação focal-padrão.
- Coordenadas dos focos:
- Se o eixo maior é horizontal e o centro é
, os focos são . - Se o eixo maior é vertical e o centro é
, os focos são .
- Excentricidade:
É um número entre
e
para elipses; quanto mais próximo de
, mais “esticada” é a elipse.
Agora vamos aplicar isso a cada caso do enunciado, mostrando cada conta.
Passo 3
Resolvendo o item (a):
.
-
Identificar o centro e os denominadores: não há deslocamento, então o centro é
. Os denominadores são (no ) e (no ). -
Determinar
e : o maior denominador é , logo e . Portanto
-
Orientação do eixo maior: como
está no termo de , o eixo maior é horizontal. -
Comprimentos dos eixos:
- Distância focal
:
- Coordenadas dos focos: eixo maior horizontal, centro
, logo focos em
- Excentricidade:
Passo 4
Resolvendo o item (b):
.
-
Centro: pelo deslocamento
, o centro é . -
Denominadores:
(no ) e (no ). O maior é , então e . Assim
-
Orientação do eixo maior: como
está sob o termo em , o eixo maior é horizontal. -
Comprimentos dos eixos:
- Distância focal
:
- Coordenadas dos focos: eixo maior horizontal e centro
, então
ou seja
e
.
- Excentricidade:
Passo 5
Resolvendo o item (c):
.
-
Centro: pelos deslocamentos, o centro é
. -
Denominadores: no termo em
temos ; no termo em temos . O maior é , então e . Assim
-
Orientação do eixo maior: como
está no termo em , o eixo maior é vertical. -
Comprimentos dos eixos:
- Distância focal
:
- Coordenadas dos focos: eixo maior vertical e centro
, então
- Excentricidade:
Passo 6
Resolvendo o item (d):
.
-
Centro: não há deslocamento, então centro
. -
Denominadores:
(no ) e (no ). O maior é , logo e . Assim
-
Orientação do eixo maior: como
está no termo em , o eixo maior é vertical. -
Comprimentos dos eixos:
- Distância focal
:
- Coordenadas dos focos: eixo maior vertical e centro
, então
- Excentricidade:
Resposta
a) Centro
; eixo maior horizontal de comprimento
; eixo menor vertical de comprimento
;
; focos
;
.
b) Centro ; eixo maior horizontal de comprimento
; eixo menor vertical de comprimento
;
; focos
e
;
.
c) Centro ; eixo maior vertical de comprimento
; eixo menor horizontal de comprimento
;
; focos
;
.
d) Centro ; eixo maior vertical de comprimento
; eixo menor horizontal de comprimento
;
; focos
;
.
b) Centro
c) Centro
d) Centro