Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a) \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
b) \frac{(x-6)^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
c) \frac{(y-4)^{2}}{9}+\frac{(x+2)^{2}}{1}=1
d) \frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das quatro elipses, que eu determine:
  • o centro;
  • o eixo maior (orientação e comprimento);
  • o eixo menor (orientação e comprimento);
  • a distância focal (isto é, a distância c do centro a cada foco);
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
As elipses dadas são:
a) \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
b) \frac{(x-6)^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
c) \frac{(y-4)^{2}}{9}+\frac{(x+2)^{2}}{1}=1
d) \frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1
Estas são equações na forma canônica de elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados (sem termos mistos xy). A resolução começa agora.

Passo 2

Vou explicar a teoria necessária — passo a passo, como se estivéssemos juntos fazendo a prova.
  1. Forma padrão alinhada aos eixos e centro (h,k):
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
ou
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,
onde a e b são números positivos e, por convenção útil para a prova, escolhemos a\ge b. Isso faz com que:
  • a seja o semi-eixo maior (meia-comprimento do eixo maior);
  • b seja o semi-eixo menor (meia-comprimento do eixo menor).
  1. Orientação do eixo maior:
  • Se o maior denominador (o que dá a^2) está sob o termo com x, então o eixo maior é horizontal;
  • Se o maior denominador está sob o termo com y, o eixo maior é vertical.
  1. Comprimentos dos eixos:
  • Comprimento do eixo maior =2a.
  • Comprimento do eixo menor =2b.
  1. Distância focal c (distância do centro a cada foco) e relação com a,b:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}.
Isto vem da definição geométrica de elipse e da equação focal-padrão.
  1. Coordenadas dos focos:
  • Se o eixo maior é horizontal e o centro é (h,k), os focos são (h\pm c,\,k).
  • Se o eixo maior é vertical e o centro é (h,k), os focos são (h,\,k\pm c).
  1. Excentricidade:
e=\frac{c}{a}.
É um número entre 0 e 1 para elipses; quanto mais próximo de 1, mais “esticada” é a elipse.
Agora vamos aplicar isso a cada caso do enunciado, mostrando cada conta.

Passo 3

Resolvendo o item (a): \displaystyle \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1.
  1. Identificar o centro e os denominadores: não há deslocamento, então o centro é (0,0). Os denominadores são 25 (no x) e 9 (no y).
  2. Determinar a^{2} e b^{2}: o maior denominador é 25, logo a^{2}=25 e b^{2}=9. Portanto
a=\sqrt{25}=5,\qquad b=\sqrt{9}=3.
  1. Orientação do eixo maior: como a^{2} está no termo de x, o eixo maior é horizontal.
  2. Comprimentos dos eixos:
\text{eixo maior: }2a=2\cdot 5=10,\qquad \text{eixo menor: }2b=2\cdot 3=6.
  1. Distância focal c:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.
  1. Coordenadas dos focos: eixo maior horizontal, centro (0,0), logo focos em
(\pm c,\,0)=(\pm 4,\,0).
  1. Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}.

Passo 4

Resolvendo o item (b): \displaystyle \frac{(x-6)^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1.
  1. Centro: pelo deslocamento x-6, o centro é (6,0).
  2. Denominadores: 25 (no x) e 16 (no y). O maior é 25, então a^{2}=25 e b^{2}=16. Assim
a=\sqrt{25}=5,\qquad b=\sqrt{16}=4.
  1. Orientação do eixo maior: como a^{2} está sob o termo em x, o eixo maior é horizontal.
  2. Comprimentos dos eixos:
2a=10,\qquad 2b=8.
  1. Distância focal c:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3.
  1. Coordenadas dos focos: eixo maior horizontal e centro (6,0), então
(6\pm c,\,0)=(6\pm 3,\,0),
ou seja (9,0) e (3,0).
  1. Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}.

Passo 5

Resolvendo o item (c): \displaystyle \frac{(y-4)^{2}}{9}+\frac{(x+2)^{2}}{1}=1.
  1. Centro: pelos deslocamentos, o centro é (-2,4).
  2. Denominadores: no termo em y temos 9; no termo em x temos 1. O maior é 9, então a^{2}=9 e b^{2}=1. Assim
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{1}=1.
  1. Orientação do eixo maior: como a^{2} está no termo em y, o eixo maior é vertical.
  2. Comprimentos dos eixos:
2a=6,\qquad 2b=2.
  1. Distância focal c:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  1. Coordenadas dos focos: eixo maior vertical e centro (-2,4), então
(-2,\,4\pm c)=\bigl(-2,\,4\pm 2\sqrt{2}\bigr).
  1. Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 6

Resolvendo o item (d): \displaystyle \frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1.
  1. Centro: não há deslocamento, então centro (0,0).
  2. Denominadores: 25 (no y) e 16 (no x). O maior é 25, logo a^{2}=25 e b^{2}=16. Assim
a=\sqrt{25}=5,\qquad b=\sqrt{16}=4.
  1. Orientação do eixo maior: como a^{2} está no termo em y, o eixo maior é vertical.
  2. Comprimentos dos eixos:
2a=10,\qquad 2b=8.
  1. Distância focal c:
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3.
  1. Coordenadas dos focos: eixo maior vertical e centro (0,0), então
(0,\,\pm 3).
  1. Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}.

Resposta

a) Centro (0,0); eixo maior horizontal de comprimento 10; eixo menor vertical de comprimento 6; c=4; focos (\pm 4,0); e=\tfrac{4}{5}.
b) Centro (6,0); eixo maior horizontal de comprimento 10; eixo menor vertical de comprimento 8; c=3; focos (9,0) e (3,0); e=\tfrac{3}{5}.
c) Centro (-2,4); eixo maior vertical de comprimento 6; eixo menor horizontal de comprimento 2; c=2\sqrt{2}; focos \bigl(-2,\,4\pm 2\sqrt{2}\bigr); e=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
d) Centro (0,0); eixo maior vertical de comprimento 10; eixo menor horizontal de comprimento 8; c=3; focos (0,\pm 3); e=\tfrac{3}{5}.

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