Obtenha a equação do plano tangente à superfície x y^2 z^3-2 y x+y z=0 no ponto (1,1,1)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, queremos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por x y^2 z^3 - 2 y x + y z = 0 no ponto (1, 1, 1). Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x, y e z, e então usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície para facilitar o trabalho:
F(x, y, z) = x y^2 z^3 - 2 y x + y z = 0
Queremos encontrar as derivadas parciais de F em relação a x, y e z.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de F em relação a x:
Fx = partial Fpartial x = y^2 z^3 - 2 y
Isso porque ao derivar em relação a x, tratamos y e z como constantes.

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de F em relação a y:
Fy = partial Fpartial y = 2 x y z^3 - 2 x + z
Aqui, usamos a regra do produto para derivar os termos que envolvem y.

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de F em relação a z:
Fz = partial Fpartial z = 3 x y^2 z^2 + y
Mais uma vez, aplicamos a regra do produto para derivar os termos que contêm z.

Passo 6

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 1, 1):
Fx(1, 1, 1) = (1)^2 (1)^3 - 2(1) = 1 - 2 = -1
Fy(1, 1, 1) = 2(1)(1)(1)^3 - 2(1) + 1 = 2 - 2 + 1 = 1
Fz(1, 1, 1) = 3(1)(1)^2 (1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4

Passo 7

Com as derivadas parciais avaliadas no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente para uma função F(x, y, z) = 0 no ponto (x0, y0, z0) é:
Fx(x0, y0, z0)(x - x0) + Fy(x0, y0, z0)(y - y0) + Fz(x0, y0, z0)(z - z0) = 0
Substituindo os valores que encontramos:
-1(x - 1) + 1(y - 1) + 4(z - 1) = 0

Passo 8

Agora, vamos simplificar essa equação:
-1(x - 1) + 1(y - 1) + 4(z - 1) = 0 - x + 1 + y - 1 + 4z - 4 = 0 - x + y + 4z - 4 = 0 x - y - 4z + 4 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto (1, 1, 1) é:
x - y - 4z + 4 = 0

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