Obtenha a equação do plano tangente à superfície
no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, queremos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
,
e
, e então usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície para facilitar o trabalho:
Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Isso porque ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar os termos que envolvem
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Mais uma vez, aplicamos a regra do produto para derivar os termos que contêm
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 7
Com as derivadas parciais avaliadas no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente para uma função
no ponto
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 8
Agora, vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: