Nos Exercícios de 1 a 19, escreva os quatro primeiros elementos da seqüêêcia e determine se ela é convergente ou divergente. Ca so seja convergente, ache o seu limite.
nn+1 sen n pi2

Passo 1

O exercício pede para analisar a sequência definida por an = nn+1sinnpi2, obter os quatro primeiros termos e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo é limites de sequência; vamos usar o comportamento periódico de sin(npi/2) e a definição de convergência.

Passo 2

Vamos calcular a1, a2, a3, a4. Para isso, lembramos que
sinpi2=1, ; sinpi=0, ; sintfrac3pi2=-1, ; sin2pi=0
Logo:
a1=12cdot1=12, a2=23cdot0=0,
a3=34cdot(-1)=-34, a4=45cdot0=0

Passo 3

Para investigar a convergência, observamos que sin(npi/2) cicla pelos valores 1,0,-1,0. Assim existem três subsequências de interesse:
  • Para n=4k+1, a4k+1=tfrac4k+14k+2to1
  • Para n=4k+3, a4k+3=-tfrac4k+34k+4to-1
  • Para n par, an=0 para todo n=2k.
    Como as subsequências têm limites diferentes ( 1,-1,0), a sequência não tende a um único valor.

Resposta

Os quatro primeiros termos são 1/2,;0,;-3/4,;0. A sequência é divergente.

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