Obtenha a equação reduzida, determine os seus elementos, e faça um esboço do gráfico da elipse que tem centro em , é tangente aos eixos coordenados, e seus eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida, os elementos e um esboço da elipse cujo centro é , cujos eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados e que é tangente aos eixos e . Vamos usar o fato de que, se a elipse está centrada em e é tangente ao eixo , então sua semi-altura vertical vale , e se é tangente ao eixo y, sua semi-largura horizontal vale l|hr|.
Passo 2
Calcular os semi-eixos:
Distância do centro ao eixo x (reta y=0) é l|kr|=l|3r|=3. Logo o semi-eixo na direção y é b=3.
Distância do centro ao eixo y (reta x=0) é l|hr|=l|-1r|=1. Logo o semi-eixo na direção x é a=1.
Passo 3
Como os eixos principais são paralelos aos eixos coordenados, a forma reduzida é
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
com (h,k)=(-1,3), a=1 e b=3. Portanto
(x + 1)^21^2 ;+;(y - 3)^23^2 ;=;1
Passo 4
Determinar os elementos da elipse:
Centro
C(-1,3)
Semi-eixos
a = 1(horizontal), b = 3(vertical)
Vértices
l(hpm a,;kr)=(-1pm1,,3);Rightarrow; (0,3) e (-2,3),
l(h,;kpm br)=(-1,,3pm3);Rightarrow; (-1,6) e (-1,0)
Focos: como b>a,
c = raizb^2 - a^2 = raiz9 - 1 = raiz8 = 2raiz2
e
F1=(-1,,3 - 2raiz2), F2=(-1,,3 + 2raiz2)
Excentricidade
e = cb = 2raiz23
Passo 5
Esboço do gráfico (cada “.” é unidade, centro em “×”):