Obtenha a equação reduzida, determine os seus elementos, e faça um esboço do gráfico da elipse que tem centro em C(-1,3), é tangente aos eixos coordenados, e seus eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida, os elementos e um esboço da elipse cujo centro é C(-1,3), cujos eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados e que é tangente aos eixos x e y. Vamos usar o fato de que, se a elipse está centrada em (h,k) e é tangente ao eixo x, então sua semi-altura vertical vale l|kr|, e se é tangente ao eixo y, sua semi-largura horizontal vale l|hr|.

Passo 2

Calcular os semi-eixos:
  • Distância do centro ao eixo x (reta y=0) é l|kr|=l|3r|=3. Logo o semi-eixo na direção y é b=3.
  • Distância do centro ao eixo y (reta x=0) é l|hr|=l|-1r|=1. Logo o semi-eixo na direção x é a=1.

Passo 3

Como os eixos principais são paralelos aos eixos coordenados, a forma reduzida é
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
com (h,k)=(-1,3), a=1 e b=3. Portanto
(x + 1)^21^2 ;+;(y - 3)^23^2 ;=;1

Passo 4

Determinar os elementos da elipse:
Centro
C(-1,3)
Semi-eixos
a = 1(horizontal), b = 3(vertical)
Vértices
l(hpm a,;kr)=(-1pm1,,3);Rightarrow; (0,3) e (-2,3),
l(h,;kpm br)=(-1,,3pm3);Rightarrow; (-1,6) e (-1,0)
Focos: como b>a,
c = raizb^2 - a^2 = raiz9 - 1 = raiz8 = 2raiz2
e
F1=(-1,,3 - 2raiz2), F2=(-1,,3 + 2raiz2)
Excentricidade
e = cb = 2raiz23

Passo 5

Esboço do gráfico (cada “.” é unidade, centro em “×”):
y

8| .
7| .
6| (–1,6) .
5| .
4| .
3|.———×———.
2| .
1| .
0| (–1,0) .
+––––––––––––→ x
–2 –1 0 1
Aqui o ponto “×” é C(-1,3), e a elipse toca o eixo x em (-1,0) e o eixo y em (0,3).

Resposta

Equação reduzida:
boxed(x + 1)^21^2 + (y - 3)^23^2 = 1
Elementos:
centro C(-1,3),
semi-eixos a=1 (horizontal), b=3 (vertical),
vértices (0,3), (-2,3), (-1,6), (-1,0),
focos l(-1,,3pm2raiz2r),
excentricidade e=2raiz2/3.
Esboço conforme acima.

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