Seja
onde
Determine onde
é crescente e onde
é decrescente.
Obtenha e classifique os pontos críticos de
de acordo com o teste da primeira derivada.
Obtenha e classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
- Determinar onde
é crescente e onde é decrescente. - Obter os pontos críticos de
e classificá‑los usando o teste da primeira derivada.
Informações dadas explicitamente:
- A expressão analítica de
válida para todo .
O que se busca entregar:
- Os intervalos de monotonicidade (crescente/decrescente).
- As abscissas dos pontos críticos (valores de
onde ou não existe) e a classificação (máximo local, mínimo local ou nenhum) por meio do teste da primeira derivada.
Passo 2
Vou explicar o que é a derivada e por que ela serve para identificar onde a função cresce ou decresce.
- Intuição: a derivada
mede a taxa de variação instantânea de em . Se em um intervalo, a função sobe quando aumenta — dizemos que é crescente ali. Se , a função desce — é decrescente ali. - Portanto, para achar monotonicidade, calculamos
e estudamos o sinal de nos intervalos do domínio.
Agora derivamos
termo a termo:
Usando regras básicas (
,
), obtemos
Passo 3
Definição de ponto crítico usada aqui: pontos
onde
ou onde
não existe. Como
é um polinômio definido para todo
, os pontos críticos são soluções de
Vou resolver essa equação quadrática com a fórmula resolvente. Para a equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são
Então:
Portanto, os pontos críticos (abscissas) são
e
.
Passo 4
Vamos estudar o sinal de
para determinar onde
aumenta ou diminui.
Observação útil:
é uma parábola em
com coeficiente líder
, então a parábola abre para cima. Para uma parábola que abre para cima, o sinal de
é:
- positivo para
menores que a menor raiz? Não — preciso verificar a ordem das raízes; as raízes são e (com ); - em geral, para
, em e onde e são as raízes ordenadas? Para evitar confusão, uso o método padrão: dividir a reta real em intervalos pelos pontos críticos e testar um valor em cada intervalo.
Intervalos:
,
,
.
Escolho pontos-teste e calculo
:
- Para
:
Logo
nesse intervalo.
- Para
:
Logo
nesse intervalo.
- Para
:
Logo
nesse intervalo.
Com isso concluímos:
-
é positiva em e em , então é crescente nesses intervalos. -
é negativa em , então é decrescente nesse intervalo.
Passo 5
Vou explicar o teste da primeira derivada e aplicá‑lo para classificar os pontos críticos.
- Teste da primeira derivada (intuição): se em um ponto crítico
a derivada passa de positiva para negativa quando atravessamos da esquerda para a direita, então sobe antes e desce depois — isso caracteriza um máximo local em . Se passa de negativa para positiva, temos um mínimo local. Se não há mudança de sinal, não há extremo local (ponto de inflexão horizontal, por exemplo).
Aplicando o teste nos nossos pontos:
- Em
: passa de positivo (em ) para negativo (em ). Portanto por esse teste é um ponto de máximo local. - Em
: passa de negativo (em ) para positivo (em ). Portanto é um ponto de mínimo local.
Passo 6
Para dar as coordenadas completas dos pontos críticos, calculo os valores de
em
e
.
- Para
:
- Para
:
Colocando em denominador
:
Assim, os pontos críticos com coordenadas são
(máximo local) e
(mínimo local).
Resposta
Pontos críticos: