Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1
Determine onde f é crescente e onde f é decrescente.
Obtenha e classifique os pontos críticos de f de acordo com o teste da primeira derivada.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1
e pede duas coisas:
  • Determinar onde f é crescente e onde f é decrescente.
  • Obter os pontos críticos de f e classificá‑los usando o teste da primeira derivada.
Informações dadas explicitamente:
  • A expressão analítica de f válida para todo x\in\mathbb{R}.
O que se busca entregar:
  • Os intervalos de monotonicidade (crescente/decrescente).
  • As abscissas dos pontos críticos (valores de x onde f'(x)=0 ou f' não existe) e a classificação (máximo local, mínimo local ou nenhum) por meio do teste da primeira derivada.

Passo 2

Vou explicar o que é a derivada e por que ela serve para identificar onde a função cresce ou decresce.
  • Intuição: a derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f em x. Se f'(x)>0 em um intervalo, a função sobe quando x aumenta — dizemos que f é crescente ali. Se f'(x)<0, a função desce — f é decrescente ali.
  • Portanto, para achar monotonicidade, calculamos f'(x) e estudamos o sinal de f' nos intervalos do domínio.
Agora derivamos f termo a termo:
\text{Se }f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1\text{, então}ã
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr).
Usando regras básicas ( \frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}1=0), obtemos
f'(x)=3x^{2}+2x-1.

Passo 3

Definição de ponto crítico usada aqui: pontos x onde f'(x)=0 ou onde f' não existe. Como f'(x)=3x^{2}+2x-1 é um polinômio definido para todo x, os pontos críticos são soluções de
3x^{2}+2x-1=0.
Vou resolver essa equação quadrática com a fórmula resolvente. Para a equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=3, b=2, c=-1. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16.
Como \sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4, as raízes são
x=\frac{-2\pm4}{2\cdot3}=\frac{-2\pm4}{6}.
Então:
x_{1}=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, \qquad x_{2}=\frac{-2-4}{6}=\frac{-6}{6}=-1.
Portanto, os pontos críticos (abscissas) são x=-1 e x=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Vamos estudar o sinal de f'(x)=3x^{2}+2x-1 para determinar onde f aumenta ou diminui.
Observação útil: f'(x) é uma parábola em x com coeficiente líder 3>0, então a parábola abre para cima. Para uma parábola que abre para cima, o sinal de f' é:
  • positivo para x menores que a menor raiz? Não — preciso verificar a ordem das raízes; as raízes são x=-1 e x=\tfrac{1}{3} (com -1 < \tfrac{1}{3});
  • em geral, para a>0, f'(x)>0 em (-\infty,x_{2}) e (x_{1},\infty) onde x_{2} e x_{1} são as raízes ordenadas? Para evitar confusão, uso o método padrão: dividir a reta real em intervalos pelos pontos críticos e testar um valor em cada intervalo.
Intervalos: (-\infty,-1), (-1,\tfrac{1}{3}), (\tfrac{1}{3},\infty).
Escolho pontos-teste e calculo f':
  • Para x=-2\in(-\infty,-1):
f'(-2)=3\cdot(-2)^{2}+2\cdot(-2)-1=3\cdot4-4-1=12-4-1=7>0.
Logo f'(x)>0 nesse intervalo.
  • Para x=0\in(-1,\tfrac{1}{3}):
f'(0)=3\cdot0^{2}+2\cdot0-1=-1<0.
Logo f'(x)<0 nesse intervalo.
  • Para x=1\in(\tfrac{1}{3},\infty):
f'(1)=3\cdot1^{2}+2\cdot1-1=3+2-1=4>0.
Logo f'(x)>0 nesse intervalo.
Com isso concluímos:
  • f' é positiva em (-\infty,-1) e em (\tfrac{1}{3},\infty), então f é crescente nesses intervalos.
  • f' é negativa em (-1,\tfrac{1}{3}), então f é decrescente nesse intervalo.

Passo 5

Vou explicar o teste da primeira derivada e aplicá‑lo para classificar os pontos críticos.
  • Teste da primeira derivada (intuição): se em um ponto crítico x_{0} a derivada passa de positiva para negativa quando atravessamos x_{0} da esquerda para a direita, então f sobe antes e desce depois — isso caracteriza um máximo local em x_{0}. Se f' passa de negativa para positiva, temos um mínimo local. Se não há mudança de sinal, não há extremo local (ponto de inflexão horizontal, por exemplo).
Aplicando o teste nos nossos pontos:
  • Em x=-1: f' passa de positivo (em x<-1) para negativo (em -1<x<\tfrac{1}{3}). Portanto por esse teste x=-1 é um ponto de máximo local.
  • Em x=\tfrac{1}{3}: f' passa de negativo (em -1<x<\tfrac{1}{3}) para positivo (em x>\tfrac{1}{3}). Portanto x=\tfrac{1}{3} é um ponto de mínimo local.

Passo 6

Para dar as coordenadas completas dos pontos críticos, calculo os valores de f em x=-1 e x=\tfrac{1}{3}.
  • Para x=-1:
f(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)+1=-1+1+1+1=2.
  • Para x=\tfrac{1}{3}:
f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}+\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{3}\right)+1 =\tfrac{1}{27}+\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{3}+1.
Colocando em denominador 27:
f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\frac{1+3-9+27}{27}=\frac{22}{27}.
Assim, os pontos críticos com coordenadas são \bigl(-1,2\bigr) (máximo local) e \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{22}{27}\bigr) (mínimo local).

Resposta

f é crescente em (-\infty,-1) e em \left(\tfrac{1}{3},\infty\right).
f é decrescente em \left(-1,\tfrac{1}{3}\right).
Pontos críticos: \bigl(-1,2\bigr) — máximo local; \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{22}{27}\bigr) — mínimo local.

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