As funções a seguir são funçães de uma terceira variável.
Se y(tan (x)+1)=4 e d yd t=3, então, obtenha d xd t em x=1.

Passo 1

O enunciado diz que temos funções x(t) e y(t) relacionadas pela equação y,(tan(x)+1)=4 e que dy/dt=3. O conteúdo aqui é derivada implícita e regra da cadeia para funções dependentes de t.

Passo 2

Derivando ambos os lados de y,(tan(x)+1)=4 em relação a t, e usando que a derivada de 4 é zero, obtemos:
d yd t(tan(x)+1) + y,dd t[tan(x)+1] = 0
Como dd t[tan(x)+1]=sec^2(x),d xd t, a expressão vira:
d yd t(tan(x)+1) + y,sec^2(x),d xd t = 0

Passo 3

Isolando d xd t, temos:
y,sec^2(x),d xd t = -d yd t(tan(x)+1)
d xd t = -d yd t(tan(x)+1)y,sec^2(x)

Passo 4

Precisamos de y em x=1. Da relação original,
y(tan(1)+1)=4 Rightarrow y=4tan(1)+1
Substituindo x=1, dy/dt=3 e esse y na fórmula de dx/dt:
d xd t|x=1 = -3,(tan(1)+1)l(tfrac4tan(1)+1r),sec^2(1)
Simplificando:
d xd t|x=1 = -3(tan(1)+1)^24,sec^2(1) = -3(tan(1)+1)^2cos^2(1)4
E, como (tan(1)+1)cos(1)=sin(1)+cos(1), chega-se a:
d xd t|x=1 = -3(sin(1)+cos(1))^24

Resposta

-tfrac34,(sin(1)+cos(1))^2

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