) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\frac{1}{x}+e^{x} no ponto de abscissa x_{0}=-1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\frac{1}{x}+e^{x}
no ponto de abscissa x_{0}=-1.
Para isso precisamos de dois elementos:
  1. As coordenadas do ponto de tangência \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr).
  2. A derivada f'(x) avaliada em x_{0}, que será o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Calcular f(-1).
f(-1)=\frac{1}{-1}+e^{-1}=-1+\frac{1}{e}.
Logo o ponto de tangência é
\bigl(-1,\,-1+\tfrac{1}{e}\bigr).

Passo 3

Determinar f'(x).
Como
f(x)=x^{-1}+e^{x},
temos
f'(x)=-1\cdot x^{-2}+e^{x}=-\frac{1}{x^{2}}+e^{x}.
Em x_{0}=-1,
f'(-1)=-\frac{1}{(-1)^{2}}+e^{-1}=-1+\frac{1}{e}.
Esse é o coeficiente angular m.

Passo 4

Escrever a equação da reta na forma ponto-declive:
y - y_{0}=m\,(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=-1, y_{0}=-1+\tfrac{1}{e} e m=-1+\tfrac{1}{e},
y -\Bigl(-1+\tfrac{1}{e}\Bigr) =\Bigl(-1+\tfrac{1}{e}\Bigr)\bigl(x-(-1)\bigr).
Isso é
y +1-\frac{1}{e} =\Bigl(-1+\frac{1}{e}\Bigr)(x+1).

Passo 5

Opcionalmente podemos rearranjar na forma y=mx+b. Calculando
b=y_{0}-m\,x_{0} =\Bigl(-1+\tfrac{1}{e}\Bigr) -\Bigl(-1+\tfrac{1}{e}\Bigr)\cdot(-1) =-2+\frac{2}{e},
ficamos com
y=\Bigl(-1+\tfrac{1}{e}\Bigr)x +\Bigl(-2+\tfrac{2}{e}\Bigr).

Resposta

A equação da reta tangente é
y=\Bigl(-1+\tfrac{1}{e}\Bigr)x +\Bigl(-2+\tfrac{2}{e}\Bigr).

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