Utilizando a fórmula da derivada do quociente calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{x+3}{x-1}+\frac{x+2}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{x+3}{x-1}+\frac{x+2}{x+1}
usando a regra do quociente. Essa regra diz que, para u(x)/v(x),
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'v - uv'}{v^2}.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em \frac{x+3}{x-1}:
Aqui u(x)=x+3 e v(x)=x-1, então u'(x)=1 e v'(x)=1.
\bigl(\tfrac{x+3}{x-1}\bigr)' = \frac{1\cdot(x-1)-(x+3)\cdot1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-3}{(x-1)^2} = \frac{-4}{(x-1)^2}.

Passo 3

Agora em \frac{x+2}{x+1}:
Aqui u(x)=x+2 e v(x)=x+1, logo u'(x)=1 e v'(x)=1.
\bigl(\tfrac{x+2}{x+1}\bigr)' = \frac{1\cdot(x+1)-(x+2)\cdot1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x-2}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}.

Passo 4

Somando as duas derivadas:
f'(x) = -\frac{4}{(x-1)^2} -\frac{1}{(x+1)^2}.
Se quisermos um único quociente, usamos o mesmo denominador (x-1)^2(x+1)^2:
f'(x) = \frac{-4(x+1)^2-(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2} = -\frac{5x^2+6x+5}{(x-1)^2(x+1)^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{4}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x+1)^2} \quad\text{ou}\quad f'(x)=-\frac{5x^2+6x+5}{(x-1)^2(x+1)^2}.

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