Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}^{3} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}^{3}x
usando a regra da cadeia. Vamos tratar f como uma composição de duas funções: uma função externa do tipo “elevar ao cubo” e uma interna “ \operatorname{sen}x”.

Passo 2

Identificamos as funções interna e externa:
a) Função externa
g(u)=u^{3},
cuja derivada é
g'(u)=3u^{2}.
b) Função interna
h(x)=\operatorname{sen}x,
cuja derivada é
h'(x)=\cos x.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Substituindo h(x)=\operatorname{sen}x e h'(x)=\cos x, obtemos
f'(x)=3\bigl(\operatorname{sen}x\bigr)^{2}\cdot\cos x.

Resposta

f'(x)=3\,\operatorname{sen}^{2}x\;\cos x

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