Determine a solução particular Y p da seguinte EDO
l y^prime prime-2 y^prime+5 y=2 e^-x(sen(2 x)-2 cos (2 x)) ll (A) y=12(e^2 x+e^-2 x) sen(x) & (B) y=12(e^x+e^-x) sen(2 x) (D) y=12(e^2 x+e^-2 x) cos (2 x) & (E) nenhuma das opções çõ

Passo 1

O enunciado pede a solução particular Yp da EDO
y''-2y'+5y = 2,e^-xl(sin(2x)-2cos(2x)r)
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear não-homogênea pelo método dos coeficientes não-determinados, em que o segundo membro é da forma e^alpha x vezes combinação de sin e cos.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada y''-2y'+5y=0. A equação característica é
r^2-2r+5=0
com raízes r=1pm2i. Logo
yh = e^xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r)
Como alpha=-1 do termo forçado e^-x não coincide com a parte real 1 das raízes complexas, não há ressonância. Assim adotamos o “chute”
Yp = e^-xl(Asin(2x)+Bcos(2x)r)

Passo 3

Calculamos as derivadas de Yp. Seja
Yp = e^-x(Asin2x + Bcos2x)
Então
Yp' = e^-xl[(-A-2B)sin2x + (2A - B)cos2xr],
Yp'' = e^-xl[(-C - 2D)sin2x + (2C - D)cos2xr]
onde C=-A-2B e D=2A-B.

Passo 4

Substituímos no lado esquerdo da EDO:
Yp'' -2Yp' +5Yp = e^-xl[(4A+8B)sin2x +(-8A+4B)cos2xr]
Isto deve igualar ao forçamento
2,e^-x(sin2x -2cos2x),
de onde obtemos o sistema
4A+8B = 2, -8A+4B = -4

Passo 5

Resolvendo
4A+8B=2, -8A+4B=-4,
divide-se por 2 na primeira e por 4 na segunda:
2A+4B=1, -2A+B=-1
Da segunda vem B=-1+2A. Substituindo na primeira:
2A+4(-1+2A)=1;Longrightarrow;10A=5;Longrightarrow;A=tfrac12,;B=0
Logo
Yp = e^-xl(tfrac12sin2x + 0cdotcos2xr) = tfrac12,e^-xsin2x

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, nenhuma apresenta tfrac12e^-xsin2x. Portanto a única resposta compatível é a alternativa (E).

Resposta

(E) nenhuma das opções

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