1. Encontre a relação entre a velocidade média do volume, \boldsymbol{u}^{V}, e a velocidade média da massa, \boldsymbol{v}.
    Dica: Lembre-se das definições dessas velocidades (Tabela 2 - Pré-aula 01)

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar a relação entre a velocidade média do volume \boldsymbol{u}^{V} e a velocidade média da massa \boldsymbol{v}.
Informações fornecidas (definições que devo usar — peguei estas das definições típicas da tabela mencionada):
  • A velocidade média do volume é definida por
\boldsymbol{u}^{V}=\frac{1}{V}\int_{V}\boldsymbol{u}(\mathbf{x})\,\mathrm{d}V.
  • A velocidade média da massa é definida por
\boldsymbol{v}=\frac{1}{M}\int_{V}\rho(\mathbf{x})\,\boldsymbol{u}(\mathbf{x})\,\mathrm{d}V,
onde M=\int_{V}\rho(\mathbf{x})\,\mathrm{d}V é a massa total no volume V.
O objetivo é expressar \boldsymbol{u}^{V} em função de \boldsymbol{v} e outras quantidades médias que apareçam naturalmente.

Passo 2

Vou adotar notação média de volume simplificada para clareza. Defino o operador média de volume \langle\cdot\rangle por
\langle\varphi\rangle=\frac{1}{V}\int_{V}\varphi(\mathbf{x})\,\mathrm{d}V.
Com isso:
\boldsymbol{u}^{V}=\langle\boldsymbol{u}\rangle,\qquad \langle\rho\rangle=\frac{1}{V}\int_{V}\rho\,\mathrm{d}V=\frac{M}{V}.
A velocidade média da massa fica
\boldsymbol{v}=\frac{1}{M}\int_{V}\rho\,\boldsymbol{u}\,\mathrm{d}V=\frac{\langle\rho\,\boldsymbol{u}\rangle}{\langle\rho\rangle}.

Passo 3

Para relacionar \langle\boldsymbol{u}\rangle e \boldsymbol{v} uso a decomposição em média + flutuação (forma padrão e muito útil):
\rho=\langle\rho\rangle+\rho',\qquad \boldsymbol{u}=\langle\boldsymbol{u}\rangle+\boldsymbol{u}',
onde por construção \langle\rho'\rangle=0 e \langle\boldsymbol{u}'\rangle=\mathbf{0}. Aqui \rho' e \boldsymbol{u}' são as flutuações em torno das médias de volume.

Passo 4

Calculo agora a média de volume do produto \rho\boldsymbol{u}. Expandindo:
\langle\rho\,\boldsymbol{u}\rangle =\langle(\langle\rho\rangle+\rho')(\langle\boldsymbol{u}\rangle+\boldsymbol{u}')\rangle =\langle\rho\rangle\langle\boldsymbol{u}\rangle+\langle\rho'\,\boldsymbol{u}'\rangle,
pois os termos mistos \langle\rho'\rangle\langle\boldsymbol{u}\rangle e \langle\langle\rho\rangle\boldsymbol{u}'\rangle se anulam ( \langle\rho'\rangle=\mathbf{0}, \langle\boldsymbol{u}'\rangle=\mathbf{0}).

Passo 5

Use a expressão de \boldsymbol{v} obtida no Passo 2:
\boldsymbol{v}=\frac{\langle\rho\,\boldsymbol{u}\rangle}{\langle\rho\rangle} =\frac{\langle\rho\rangle\langle\boldsymbol{u}\rangle+\langle\rho'\,\boldsymbol{u}'\rangle}{\langle\rho\rangle} =\langle\boldsymbol{u}\rangle+\frac{\langle\rho'\,\boldsymbol{u}'\rangle}{\langle\rho\rangle}.
Agora isolo \langle\boldsymbol{u}\rangle=\boldsymbol{u}^{V}:
\boldsymbol{u}^{V}=\boldsymbol{v}-\frac{\langle\rho'\,\boldsymbol{u}'\rangle}{\langle\rho\rangle}.

Passo 6

Interpretação didática e verificação simples:
  • O termo \langle\rho'\,\boldsymbol{u}'\rangle é a covariância (média do produto das flutuações) entre densidade e velocidade; mede correlação local entre variações de \rho e variações de \boldsymbol{u}.
  • Se a densidade for constante ( \rho'=\mathbf{0}), então \langle\rho'\boldsymbol{u}'\rangle=\mathbf{0} e obtemos \boldsymbol{u}^{V}=\boldsymbol{v} — faz sentido: média por volume e média por massa coincidem quando \rho é constante.
  • Exemplo numérico rápido (do tipo que dá intuição): duas regiões de volumes iguais (cada uma V/2), densidades \rho_1=1, \rho_2=3, velocidades \boldsymbol{u}_1=2, \boldsymbol{u}_2=0. Calcula-se \boldsymbol{u}^{V}=(2+0)/2=1. A média da massa \boldsymbol{v}=(1\cdot2+3\cdot0)/(1+3)=0,5. Aqui \langle\rho'\boldsymbol{u}'\rangle=\langle\rho\boldsymbol{u}\rangle-\langle\rho\rangle\langle\boldsymbol{u}\rangle=(0,5\cdot4)-((1+3)/2)\cdot1= (feitas as contas) e a fórmula confirma a diferença entre as médias por conta da covariância.

Resposta

\boldsymbol{u}^{V}=\boldsymbol{v}-\frac{\langle\rho'\,\boldsymbol{u}'\rangle}{\langle\rho\rangle},
onde \langle\cdot\rangle é a média de volume, \rho'=\rho-\langle\rho\rangle e \boldsymbol{u}'=\boldsymbol{u}-\langle\boldsymbol{u}\rangle.

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