- Encontre a relação entre a velocidade média do volume,
, e a velocidade média da massa,
.
Dica: Lembre-se das definições dessas velocidades (Tabela 2 - Pré-aula 01)
Dica: Lembre-se das definições dessas velocidades (Tabela 2 - Pré-aula 01)
Passo 1
O que o exercício pede: encontrar a relação entre a velocidade média do volume
e a velocidade média da massa
.
Informações fornecidas (definições que devo usar — peguei estas das definições típicas da tabela mencionada):
- A velocidade média do volume é definida por
- A velocidade média da massa é definida por
onde
é a massa total no volume
.
O objetivo é expressar
em função de
e outras quantidades médias que apareçam naturalmente.
Passo 2
Vou adotar notação média de volume simplificada para clareza. Defino o operador média de volume
por
Com isso:
A velocidade média da massa fica
Passo 3
Para relacionar
e
uso a decomposição em média + flutuação (forma padrão e muito útil):
onde por construção
e
. Aqui
e
são as flutuações em torno das médias de volume.
Passo 4
Calculo agora a média de volume do produto
. Expandindo:
pois os termos mistos
e
se anulam (
,
).
Passo 5
Use a expressão de
obtida no Passo 2:
Agora isolo
:
Passo 6
Interpretação didática e verificação simples:
- O termo
é a covariância (média do produto das flutuações) entre densidade e velocidade; mede correlação local entre variações de e variações de . - Se a densidade for constante (
), então e obtemos — faz sentido: média por volume e média por massa coincidem quando é constante. - Exemplo numérico rápido (do tipo que dá intuição): duas regiões de volumes iguais (cada uma
), densidades , , velocidades , . Calcula-se . A média da massa . Aqui (feitas as contas) e a fórmula confirma a diferença entre as médias por conta da covariância.
Resposta
onde
é a média de volume,
e
.