Estabeleça as equações simétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r : \left\{1-x=y=\frac{z-2}{2} \quad\right. e \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=4+2 t \\\ y=3+4 t \\\ z=6+6 t\end{array} \quad\right. e é, ao mesmo tempo, ortogonal a essas retas.

Passo 1

O enunciado pede: estabelecer as equações simétricas da reta que (1) passa pelo ponto de interseção das retas r\) e \(s\) e (2) é ortogonal a ambas as retas \(r\) e \(s\).\n Informações dadas: \[r:\;1-x=y=\frac{z-2}{2}
s:\;\begin{cases}x=4+2t\\[4pt]y=3+4t\\[4pt]z=6+6t\end{cases}
Lista dos dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A reta r\] está em forma simétrica \(1-x=y=\dfrac{z-2}{2}.
  • A reta s está em forma paramétrica \big(x,y,z\big)=(4+2t,\;3+4t,\;6+6t).
  • Queremos a reta que passa pela interseção de r e s e que seja perpendicular tanto a r quanto a s.]

Passo 2

Parametrizar a reta r a partir da igualdade 1-x=y=\dfrac{z-2}{2}.\n
Seja \lambda o parâmetro tal que
\lambda=1-x=y=\frac{z-2}{2}.
Despejando cada coordenada em função de \lambda:
x=1-\lambda,\qquad y=\lambda,\qquad z=2+2\lambda.
Portanto a forma paramétrica de r é
\big(x,y,z\big)=(1,0,2)+\lambda(-1,1,2).
Daí extraímos:
  • um ponto de r: P_r=(1,0,2),
  • vetor diretor de r: \vec{v}_r=(-1,1,2).

Passo 3

Identificar dados de s. A reta s já está em forma paramétrica:
\big(x,y,z\big)=(4,3,6)+t(2,4,6).
Daí extraímos:
  • um ponto de s: P_s=(4,3,6),
  • vetor diretor de s: \vec{v}_s=(2,4,6).

Passo 4

Calcular o ponto de interseção Q entre r e s igualando as parametrizações. Devemos achar \lambda e t tais que
1-\lambda=4+2t,\qquad \lambda=3+4t,\qquad 2+2\lambda=6+6t.
Usamos as duas primeiras equações para resolver \lambda e t. Da segunda:
\lambda=3+4t.
Substituindo na primeira:
1-(3+4t)=4+2t \;\Longrightarrow\; 1-3-4t=4+2t \;\Longrightarrow\; -2-4t=4+2t.
Isolando t:
-2-4t=4+2t \;\Longrightarrow\; -6=6t \;\Longrightarrow\; t=-1.
Com t=-1, obtemos \lambda=3+4(-1)=3-4=-1. Verificação com a terceira equação:
2+2\lambda=2+2(-1)=0,\qquad 6+6t=6+6(-1)=0,
logo bate. Portanto o ponto de interseção é, por exemplo usando s com t=-1:
Q=(4+2(-1),\;3+4(-1),\;6+6(-1))=(2,-1,0).

Passo 5

Determinar um vetor diretor da reta procurada que seja ortogonal a \vec{v}_r e a \vec{v}_s.\n
Conceito usado: o produto vetorial \vec{v}_r\times\vec{v}_s produz um vetor perpendicular a ambos \vec{v}_r e \vec{v}_s. Vamos calcular o produto vetorial.\n
Tomando \vec{v}_r=(-1,1,2) e \vec{v}_s=(2,4,6), o produto vetorial é
\vec{d}=\vec{v}_r\times\vec{v}_s= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 6 \end{vmatrix}.
Calculando as componentes (faça assim na prova: regra de Sarrus ou determinante 3×3), obtemos
\vec{d}=\big(1\cdot6-2\cdot4,\; -(-1\cdot6-2\cdot2),\; -1\cdot4-1\cdot2\big).
Simplificando cada componente:
\vec{d}=(6-8,\; -(-6-4),\; -4-2)=(-2,\;10,\;-6).
Podemos simplificar por 2 o vetor (opcional) para ficar menor:
\vec{d}=(-1,5,-3).
Multiplicar por -1 também é permitido (altera sentido, não a direção). Para deixar a primeira componente positiva escolhemos
\vec{d}=(1,-5,3).
Esse vetor é diretor da reta procurada, pois é ortogonal a \vec{v}_r e \vec{v}_s.]

Passo 6

Formar a equação paramétrica e então as equações simétricas da reta que passa por Q=(2,-1,0) com vetor diretor \vec{d}=(1,-5,3).\n
A forma paramétrica da reta L é
\big(x,y,z\big)=(2,-1,0)+\mu(1,-5,3),
ou seja
x=2+\mu,\qquad y=-1-5\mu,\qquad z=0+3\mu.
As equações simétricas obtêm-se isolando \mu em cada uma:
\mu=x-2,\qquad \mu=-\frac{y+1}{5},\qquad \mu=\frac{z}{3}.
Igualando-as, as equações simétricas ficam
\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z}{3}.

Passo 7

Verificação rápida da ortogonalidade (útil na prova para checar): calcular produto escalar entre \vec{d}=(1,-5,3) e \vec{v}_r=(-1,1,2):
\vec{d}\cdot\vec{v}_r=1\cdot(-1)+(-5)\cdot1+3\cdot2=-1-5+6=0.
E com \vec{v}_s=(2,4,6):
\vec{d}\cdot\vec{v}_s=1\cdot2+(-5)\cdot4+3\cdot6=2-20+18=0.
Ambos nulos, logo \vec{d} é ortogonal a \vec{v}_r e a \vec{v}_s, confirmação final de que a reta está correta.

Resposta

\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-5}=\dfrac{z}{3}

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