Estabeleça as equações simétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r : \left\{1-x=y=\frac{z-2}{2} \quad\right. e \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=4+2 t \\\ y=3+4 t \\\ z=6+6 t\end{array} \quad\right. e é, ao mesmo tempo, ortogonal a essas retas.
Passo 1
O enunciado pede: estabelecer as equações simétricas da reta que (1) passa pelo ponto de interseção das retas r\) e \(s\) e (2) é ortogonal a ambas as retas \(r\) e \(s\).\n
Informações dadas:
\[r:\;1-x=y=\frac{z-2}{2}
Com t=-1, obtemos \lambda=3+4(-1)=3-4=-1. Verificação com a terceira equação:
2+2\lambda=2+2(-1)=0,\qquad 6+6t=6+6(-1)=0,
logo bate. Portanto o ponto de interseção é, por exemplo usando s com t=-1:
Q=(4+2(-1),\;3+4(-1),\;6+6(-1))=(2,-1,0).
Passo 5
Determinar um vetor diretor da reta procurada que seja ortogonal a \vec{v}_r e a \vec{v}_s.\n
Conceito usado: o produto vetorial \vec{v}_r\times\vec{v}_s produz um vetor perpendicular a ambos \vec{v}_r e \vec{v}_s. Vamos calcular o produto vetorial.\n
Tomando \vec{v}_r=(-1,1,2) e \vec{v}_s=(2,4,6), o produto vetorial é
Podemos simplificar por 2 o vetor (opcional) para ficar menor:
\vec{d}=(-1,5,-3).
Multiplicar por -1 também é permitido (altera sentido, não a direção). Para deixar a primeira componente positiva escolhemos
\vec{d}=(1,-5,3).
Esse vetor é diretor da reta procurada, pois é ortogonal a \vec{v}_r e \vec{v}_s.]
Passo 6
Formar a equação paramétrica e então as equações simétricas da reta que passa por Q=(2,-1,0) com vetor diretor \vec{d}=(1,-5,3).\n
A forma paramétrica da reta L é
\big(x,y,z\big)=(2,-1,0)+\mu(1,-5,3),
ou seja
x=2+\mu,\qquad y=-1-5\mu,\qquad z=0+3\mu.
As equações simétricas obtêm-se isolando \mu em cada uma: