Obtenha a equação vetorial da reta r a partir de suas equações planares. (Resolver de dois métodos diferentes primeiro usando os vetores normais e depois resolvendo o sistema indeterminado com uma variável livre)
r:lx+2 y+3 z-1=0 x-y+2 z=0

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta
O conteúdo envolvido é achar o vetor diretor da reta pela normal das placas (produto vetorial) e encontrar um ponto de (r] resolvendo o sistema; depois, um segundo método é parametrizar diretamente o sistema livre em uma variável.

Passo 2

Método 1 – vetor diretor. As normais às placas são
n1=(1,2,3), n2=(1,-1,2)
O vetor diretor v é dado pelo produto vetorial
v = n1 times n2 = det e1 & e2 & e3 1 & 2 & 3 1 & -1 & 2 = (7,,1,,-3)

Passo 3

Método
Logo um ponto em .

Passo 4

Método – equação vetorial. Com e , escrevemos
\tfrac{1}{3} \[4pt] 0\end{pmatrix} + t, \quad t\in\mathbb{R}.]

Passo 5

Método – variável livre. Seja . As equações viram
Da segunda, . Substituindo na primeira:
Logo
\tfrac{1}{3} \[2pt] 0\end{pmatrix} + t,]
confirmando o mesmo resultado.

Resposta

\tfrac{1}{3} \[4pt] 0\end{pmatrix} + t, \quad t\in\mathbb{R}. }]

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