Verifique se r=s nos casos:
r:lx=1-lambda y=2+2 lambda z=1+lambda,(lambda in R) e s:lx=1-12 mu y=2+mu z=1+12 mu,(mu in R).

Passo 1

O enunciado apresenta as retas
e pede para verificar se (r=s]. Para isso, vamos usar o critério de vetores diretores proporcionais e ponto em comum.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de cada reta. Para r, ao variar lambda temos
vec vr = l(tfracdxdlambda,tfracdydlambda,tfracdzdlambdar) = (-1,,2,,1)
Para s, ao variar mu temos
vec vs = l(tfracdxdmu,tfracdydmu,tfracdzdmur) = l(-tfrac12,,1,,tfrac12r)

Passo 3

Verificamos a proporcionalidade entre os vetores diretores:
vec vs = tfrac12,vec vr
Como são proporcionais, as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Escolhemos um ponto de r, por exemplo em lambda=0:
P = (x,y,z)l|lambda=0 = (1,,2,,1)
Agora vemos que esse mesmo ponto surge em s para mu=0:
l(1-tfrac12cdot0,;2+0,;1+tfrac12cdot0r) = (1,,2,,1)
Logo P pertence a ambas as retas.

Passo 5

Como as retas têm vetores diretores proporcionais e compartilham o ponto P, elas coincidem.

Resposta

As retas r e s são coincidentes, isto é, r = s.

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