Obtenha a interseção da reta r:(x, y, z)=(0,0,1)+lambda(2,1,-3) com o plano pi dado pelas seguintes equações paramétricas (x, y, z)=(1,-3,1)+alpha(1,0,1)+beta(0,1,1).

Passo 1

O enunciado dá a reta
rcolon (x,y,z) = (0,0,1) + lambda,(2,1,-3)
e o plano pi por
(x,y,z) = (1,-3,1) + alpha,(1,0,1) + beta,(0,1,1)
Queremos o ponto de interseção, que obtemos igualando as coordenadas de r e de pi e resolvendo para lambda,alpha,beta.

Passo 2

Igualando as componentes de r e pi formamos o sistema
2lambda = 1 + alpha, lambda = -3 + beta, 1 - 3lambda = 1 + alpha + beta

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos alpha e beta em função de lambda:
alpha = 2lambda - 1, beta = lambda + 3

Passo 4

Substituindo esses valores na terceira equação, temos
1 - 3lambda = 1 + (2lambda - 1) + (lambda + 3) = 3 + 3lambda
Logo
1 - 3lambda = 3 + 3lambda Longrightarrow 1 - 3 = 3lambda + 3lambda Longrightarrow -2 = 6lambda Longrightarrow lambda = -tfrac13

Passo 5

Com lambda = -tfrac13, obtemos
alpha = 2l(-tfrac13r) - 1 = -tfrac53, beta = -tfrac13 + 3 = tfrac83

Passo 6

Substituindo lambda nas equações da reta, o ponto de interseção é
x = 2lambda = -tfrac23, y = lambda = -tfrac13, z = 1 - 3lambda = 2

Resposta

O ponto de interseção é
l(-tfrac23, -tfrac13, 2r)

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