Obtenha a equação vetorial da reta a partir de suas equações planares. (Resolver de dois métodos diferentes primeiro usando os vetores normais e depois resolvendo o sistema indeterminado com uma variável livre)
Passo 1
O enunciado dá a reta r como interseção de dois planos
x=3
e
2x - z + 1 = 0
O conteúdo é geometria analítica no espaço: obter a equação vetorial de uma reta definida pela interseção de planos.
Passo 2
Primeiro método – usando vetores normais.
O plano x=3 tem vetor normal
vec n1 = (1,0,0),
e o plano 2x - z + 1 = 0 tem vetor normal
vec n2 = (2,0,-1)
O vetor direção vec v da reta é dado pelo produto vetorial
vec v = vec n1 times vec n2 = (1,0,0)times(2,0,-1) = (0,1,0)
Passo 3
Ainda no primeiro método, achamos um ponto P na reta resolvendo simultaneamente as equações dos planos. De x=3 já temos xP=3. Substituindo em
2x - z + 1 = 0
vem
2cdot3 - z + 1 = 0 Longrightarrow 6 - z + 1 = 0 Longrightarrow zP = 7
Podemos escolher yP=0. Logo
P = (3,0,7)
Passo 4
Com P e vec v prontos, a equação vetorial da reta é
vec r(t) = P + t,vec v = (3,0,7) + t,(0,1,0), tin R
Passo 5
Segundo método – sistema com variável livre.
Temos três incógnitas
Da primeira vem . Sobram infinitas soluções para , então definimos . Assim