As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de eq lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para 0 o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propri especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}4 & 2 & x \\\\ 3 & y & 2\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & x\\\\ 3 & y & 2 \end{pmatrix}
de um sistema linear com m=2 equações e n=3 incógnitas, e pede os valores de x e y tais que, para qualquer vetor \boldsymbol b\in\mathbb R^2, o sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b tenha infinitas soluções.

Passo 2

Para que um sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b seja
  1. consistente para todo \boldsymbol b (isto é, tenha solução sempre), é necessário e suficiente que \rank(A)=m=2,
  2. tenha infinitas soluções, basta que \rank(A)<n=3.
    Logo, queremos \rank(A)=2.

Passo 3

A condição \rank(A)=2 equivale a dizer que as duas linhas de A são linearmente independentes. Se fossem dependentes, existiria k tal que
(3,y,2)=k\,(4,2,x).
Da primeira coordenada vem 3=4k, logo k=3/4.
Impondo as outras duas coordenadas:
y=2k=2\cdot\frac34=\frac32, \qquad 2=x\,k=x\cdot\frac34 \;\Longrightarrow\; x=\frac{2}{3/4}=\frac{8}{3}.
Portanto, exatamente em \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{8}{3},\tfrac{3}{2}\bigr) as linhas ficam dependentes e \rank(A)=1.

Resposta

Para que o sistema tenha infinitas soluções para qualquer \boldsymbol b, basta que as linhas de A sejam independentes, isto é,
(x,y)\neq\Bigl(\tfrac{8}{3},\tfrac{3}{2}\Bigr).

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