As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de eq lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para 0 o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propri especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 3 \\\\ 6 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 2 & 3\\\\ 6 & x \end{pmatrix}
de um sistema de 3 equações e 2 incógnitas (u,v). Queremos que, para um vetor \boldsymbol b, o sistema A\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}=\boldsymbol b tenha ou nenhuma solução (se \boldsymbol b não estiver na imagem de A) ou exatamente uma solução (se \boldsymbol b estiver na imagem). Para isso, não pode ocorrer infinitas soluções.

Passo 2

Na teoria de sistemas lineares, infinitas soluções acontecem quando a posto da matriz de coeficientes é menor que o número de incógnitas. Aqui temos 2 incógnitas, logo para evitar infinitas soluções precisamos
\mathrm{rank}(A)=2.
Se a posto fosse 1, haveria um grau de liberdade livre e, sempre que \boldsymbol b fosse compatível, surgiriam infinitas soluções.

Passo 3

Basta mostrar que \mathrm{rank}(A)=2 para todo x. Um modo é calcular qualquer menor de ordem 2. Por exemplo, usando as duas primeiras linhas:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 3\end{pmatrix} =0\cdot3 - 1\cdot2 = -2 \neq 0.
Como esse menor é não-nulo, segue \mathrm{rank}(A)=2 independentemente de x.

Resposta

Para qualquer x\in\mathbb{R}, o sistema terá ou zero soluções (quando \boldsymbol b não pertence à imagem de A) ou exatamente uma solução (quando \boldsymbol b pertence à imagem de A). Portanto, não há restrição sobre x.

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