Obtenha as equações paramétricas da reta que representa a interseção dos planos:
x=(1,-3,5)+lambda(2,1,2)+mu(3,-4,1)
x=(1,1,2)+lambda(1,2-1)+mu(2,1,0)

Passo 1

Então, o enunciado diz: “Obtenha as equações paramétricas da reta que é a interseção dos dois planos dados por parâmetros.”
Conteúdo envolvido: geometria analítica no espaço – interseção de dois planos dados em forma paramétrica.
O que vamos precisar:
  1. Igualar as coordenadas (x,y,z) dos dois parâmetros para obter um sistema de equações lineares em λ₁,μ₁,λ₂,μ₂.
  2. Resolver esse sistema, encontrando uma relação livre (um parâmetro t) que nos dê a reta.
  3. Substituir de volta para achar x(t),y(t),z(t).

Passo 2

Vamos escrever cada plano em coordenadas separadas.
Plano 1:
x = 1 + 2lambda1 + 3mu1, y = -3 + lambda1 - 4mu1, z = 5 + 2lambda1 + mu1
Plano 2 (note que o vetor está escrito como (1,2,-1)):
x = 1 + lambda2 + 2mu2, y = 1 + 2lambda2 + mu2, z = 2 - lambda2
Agora, para que um ponto (x,y,z) esteja na interseção, as três coordenadas devem coincidir, isto é:
1 + 2lambda1 + 3mu1 = 1 + lambda2 + 2mu2, -3 + lambda1 - 4mu1 = 1 + 2lambda2 + mu2, 5 + 2lambda1 + mu1 = 2 - lambda2

Passo 3

Vamos simplificar cada uma:
  1. 2lambda1 +3mu1 -lambda2 -2mu2 = 0.
  2. lambda1 -4mu1 -2lambda2 -mu2 = 4.
  3. 2lambda1 +mu1 +lambda2 = -3.
Temos 4 incógnitas e 3 equações, então vai sobrar um grau de liberdade: chamamos esse parâmetro livre de t.

Passo 4

Escolhemos, por exemplo, mu1 = t.
Da equação (3):
lambda2 = -3 -2lambda1 - mu1
Da equação (1):
4lambda1 +4mu1 +3 -2mu2=0 Rightarrow mu2 = 2lambda1 +2mu1 +tfrac32
Da equação (2), substituindo lambda2 e mu2 e simplificando, obtemos
6lambda1 -8mu1 = -1 Rightarrow lambda1 = 8t -16
Feitas essas substituições, expressamos todos os parâmetros em função de t.

Passo 5

Voltamos ao plano 1 para achar (x,y,z) em função de t:
x(t)&=1 +2lambda1 +3mu1 =1 +2l(tfrac8t-16r)+3t =tfrac23 + tfrac173,t, y(t)&=-3 +lambda1 -4mu1 =-3 +tfrac8t-16-4t =-tfrac196 - tfrac83,t, z(t)&=5 +2lambda1 +mu1 =5 +2l(tfrac8t-16r)+t =tfrac143 + tfrac113,t
Pronto! Essas são as equações paramétricas da reta interseção.

Resposta

As equações paramétricas da reta são
boxed x(t) = tfrac23 + tfrac173,t,[6pt] y(t) = -tfrac196 - tfrac83,t,[6pt] z(t) = tfrac143 + tfrac113,t, tinR

Exercícios relacionados