Obtenha as equações paramétricas e simétricas das seguintes retas:
Passa pela origem e pelo ponto (4,3,1).

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e simétricas da reta em R^3 que passa pela origem e pelo ponto (4,3,1). O que precisaremos é do vetor diretor da reta e do uso da forma vetorial para depois extrair as formas pedidas.

Passo 2

O vetor diretor vec v da reta é dado pela diferença entre o ponto final e o ponto inicial. Como a reta vai de (0,0,0) a (4,3,1), temos
vec v = (4,3,1) - (0,0,0) = (4,3,1)

Passo 3

A equação vetorial da reta, tomando o parâmetro tinR, é
r(t) = (0,0,0) + t,(4,3,1)
Em coordenadas paramétricas isso se traduz em
x = 4t
y = 3t
z = t

Passo 4

Para obter a forma simétrica, basta eliminar t em cada uma das equações paramétricas. Como t = x/4 = y/3 = z/1, temos
x4 = y3 = z1

Resposta

Equações paramétricas:
x = 4t
y = 3t
z = t
Equação simétrica:
x4 = y3 = z1

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